Matemáticas (plan 1983) 2019-1

0. Repaso relámpago de Variable Compleja I (una semana).

I. Aplicaciones del Teorema del Residuo: Calculo de residuos, método del determinante y otros métodos,, el teorema del residuo, cálculo de integrales trigonométricas y racionales impropias, cálculo de integrales impropias definidas por la transformada de Fourier, cálculo de integrales impropias definidas por la transformada de Mellin, valor principal de Cauchy, cálculo de integrales impropias definidas por funciones multivaluadas, cálculo de series.

II. Conformalidad,transformaciones de Möbius, métrica hipebólica.Métrica cordal, el grupo de Möbius actuando en la esfera de Riemann, PSL(2,C), propiedades básicas: preservan “círculos”, son transitivasen la familia de todos los “círculos” ,clasificación por sus puntos fijos y la conjugación, geometría, configuración de Steiner, transformaciones de Möbius que preservan “discos”, PSL(2;R), clasificación por la traza, multiplicadores. Densidades, métrica hiperbólica en el semiplano y en el disco, isometrías y fórmulas de la distancia hiperbólica, círculos hiperbólicos.

III. Continuación Analítica Principio de Continuación Analítica, simetría en “círculos” en términos de transformaciones de Möbius, razón cruzada, principio de Reflexión de Schwartz para regiones simétricas con respecto a la recta real o con respecto a otro“círculo”, continuación analítica a lo largo de curvas, teorema de monodromía. Superficies de Riemann de algunas funciones elementales: logaritmo, raíz n-ésima, coseno inverso.

IV. Principio del argumento, aplicaciones y comportamiento local. Las distintas versiones del principio del argumento, teorema de Rouché, aplicación a la localización de los ceros de un polinomio, teorema de Hurwitz, funciones inyectivas, comportamiento local de las funciones analíticas, consecuencias y ejemplos.

V. Teorema del mapeo de Riemann. Familias normales, equicontinuidad, teorema de Montel, demostración completa del teorema.

VI.Productos infinitos. Teorema de Weierstrass para productos, ejemplos, la función Gamma, teorema de Mittag Leffler para funciones meromorfas.

Bibliografía

Marsden- Hoffmann, Basic Complex Analysis. Freeman.

Alfhors, Lars. Complex Analysis. Mc GrawHill.

Singermann David, Jones Gareth, Complex functions, Cambridge.

Lascurain Orive, Antonio.Una Introducción a la geometría hiperbólica bidimensional Facultad de Ciencias, UNAM.

Requisitos: variable compleja I