Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Teoría de los Conjuntos II

Este curso es la continuación del curso de conjuntos 1 del semestre pasado http://www.fciencias.unam.mx/docencia/horarios/presentacion/290750 y continuaremos con la misma idea, así que también será un curso dividido en dos partes.

Parte Estándar (Zermelo-Fraenkel)

En esta parte se verán los temas clásicos de un curso de teoría de conjuntos 2, enfocandose en los teoremas principales de la teoría de ordinales y cardinales.

Temario

1. Ordinales: en esta parte se verán sólo los principales teoremas de buenos órdenes, luego se verán ordinales, inducción, recurción y aritmética ordinal.
2. Cardinales: esta parte se enfocará en la aritmetica cardinal, suma y producto; luego se verá la exponenciación cardinal y sus problemas.

Bibliografía

1. T. Jech Set Theory. Springer Verlag, 2003.
2. J.A. Amor, G. Campero, F.E. Miranda. Teoría de conjuntos, curso intermedio. Prensas de ciencias, 2014.
3. F. Hernández. Teoría de conjuntos. SMM, 2003.

Parte no-estándar (Lawvere)

Como en el semestre pasado seguiremos el libro Sets for Mathematics de Lawvere, agregando algunas cosas sobre lógica y filosofía principalmente, además de muchas especulaciones sobre la matematización de "todo" por medio de la teoría de categorías (o mejor aún, la teoría de topos).

Temario

1. Repaso: empezaremos haciendo un resumen del semestre pasado, centrandonos en las ideas principales; categoría, funtor, (co)límites, separadores y clasificador de subobjetos.
2. Axiomas de la teoría de conjuntos abstractos.
3. Exponenciales.
4. Objeto de numeros naturales. En este punto es posible que veamos la construcción de números reales a partir de los axiomas de topos con números naturales. La categoría de conjuntos abstractos será un topos con objeto de números naturales.
5. Conjuntos variables y ciertos tipos de variación. Aquí tal vez podemos ver una explicación explicación rápida de cómo "detener la variación" obteniendo cosas como los infinitesimales de Robinson o el forcing de Cohen.

Bibliografía

1. F.W. Lawvere, R. Rosebrugh. Sets for Mathematics. Cambridge University Press, 2003.
2. F.W. Lawvere, S.H. Schanuel. Matematicas Conceptuales. https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere/.
3. M. La Palme, G. Reyes, H. Zolfaghari. Generic Figures and their Glueings. https://reyes-reyes.com/2004/06/01/generic-figures-and-their-glueings-a-constructive-approach-to-functor-categories/.
4. F.W. Lawvere. Variable Quantities and Variable Structures in Topoi. Algebra, Topology and Category Theory, No. 54, 1976, pp. 101-131.
5. F.W. Lawvere. Cohesive toposes and Cantor `Lauter Einsen. Philosophia Mathematica, No. 3, Vol. 2, 1994, pp. 5-15
6. F.W. Lawvere. An elementary theory of the category of sets (long version). Theory and Aplications of Categories, No. 11, 2005, pp. 1-35.
7. F.W. Lawvere. Axiomatic Cohesion. Theory and Aplications of Categories, No. 3, Vol. 19, 2007, pp. 41-49.