Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Sistemas Dinámicos Discretos II

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Temario
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Básicamente, se introduce al estudio de los sistemas dinámicos en espacios de dimensiones reales mayores a 1 (ℝⁿ, toros, plano complejo, etc). Se recordarán las definiciones de los conceptos básicos cuando sea necesario y se contrastarán los resultados estudiados en este curso con los análogos a dimensión real 1.

1.

Sistemas Dinámicos Discretos en ℝ² y ℝ³.

a)

Transformaciones lineales. Dinámica de transformaciones lineales en ℝ² y ℝ³.

b)

Transformaciones no lineales. El mapeo de Hénon.

c)

Bifurcaciones. Ejemplos con bifurcaciones tangente y de duplicación del periodo. Bifurcación de Hopf.

2.

Sistemas Dinámicos Discretos en variedades de dimensión mayor a 1.

a)

La Herradura de Smale. Definición geométrica. Dinámica simbólica en la herradura.

b)

Dinámica en el toro. Automorfismos torales hiperbólicos (Anosov). Particiones de Markov.

c)

Atractores. Conjuntos límite. El solenoide. Límites inversos. Atractores extraños.

d)

Variedades estables e inestables. Condiciones de hiperbolicidad. Teorema de las variedades estable e inestable.

3.

Dinámica Holomorfa (Sistemas Dinámicos en el plano complejo y la esfera de Riemann).

a)

Funciones racionales. Clasificación de puntos periódicos. Familias normales. Conjuntos de Julia y Fatou.

b)

La familia cuadrática. El conjunto de Mandelbrot. Bulbos y periodicidad.

4.

Más dinámica Holomorfa.

a)

Funciones racionales. Puntos críticos. Tipos de componentes del conjunto de Fatou.

b)

Funciones trascendentes. Introducción a la dinámica de funciones trascendentes en ℂ.

• Temas opcionales.

  1.

  Fractales. Definiciones de fractal. Dimensión fractal.

  2.

  Otros temas de dinámica holomorfa. El teorema de no existencia de dominios errantes. La conjetura MLC. Introducción al diccionario de Sullivan. Componentes de Fatou de funciones trascendentes.

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Prerrequisitos
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Haber cursado Sistemas Dinámicos I, preferentemente Variable Compleja I y Topología I, y opcionalmente Geometría Diferencial I, Geometría Riemanniana I ó Topología Diferencial.

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Lugar y horarios
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Lugar:

Por definir.

Horarios:

11-12 hrs originalmente, 14-15 hrs sujeto a aprobación. Profesor lunes, miércoles y viernes. Ayudante martes y jueves.

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Evaluación
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• 80%. Cuatro tareas-examen, aproximadamente una por unidad-mes (Agosto, Septiembre, Octubre y Noviembre).
• 20%. Una exposición de uno de los temas propuestos: el atractor de Plykin, el atractor de Hénon, el atractor de Lorenz, exponentes de Lyapunov, sistemas de funciones iteradas, ejemplos curiosos de conjuntos de Julia, el tricornio, cálculo de la dimensión fractal de conjuntos de Julia, las fórmulas mágicas de Douady, grupos Kelinianos, entre otros.

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Bibliografía
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• Principal.
  • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
  • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004.
  • Beardon, Alan F. Iteration of Rational Functions - Complex Analytic Dynamical Systems. 1990.
• Complementaria.
  • Devaney, R. L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems - Theory & Experiments. 1992.
  • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.
  • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.
  • Milnor, John. Dynamics in One Complex Variable. 1999.
  • Barnsley, M.F. Fractals everywhere. 1993.
  • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.