Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

La Geometría No Conmutativa también conocida como Geometría Cuántica, unifica en una sola teoría los principales conceptos de Geometría y Física Cuántica con conceptos de Análisis Funcional y de Álgebras C*.

Los objetos básicos de la geometría no-conmutativa son los espacios cuánticos los cuales representamos formalmente por álgebras C* no conmutativas. Los elementos de estas álgebras son interpretados como 'funciones' que pueden ser medibles, continuas, o suaves, según nuestra consideración, sobre espacios cuánticos. Al contrario de los espacios clásicos, los espacios cuánticos generalmente no poseen puntos ni partes y manifiestan ciertas 'fluctuaciones cuánticas' en todas las escalas.

Cada concepto geométrico se generaliza al nivel cuántico. Hay una esperanza de que la geometría no-conmutativa pueda describir correctamente el Espacio-Tiempo en las escalas ultra-pequeñas, definidas por la longitud de Planck.

Este curso esta dedicado tanto a alumnos de Matemáticas como de Física con conocimentos básicos de Álgebra y Análisis Funcional. Así mismo, los temas abordados servirán, para quien así lo desee, seguir los temas expuestos en el seminario de Gemetría Cuántica, presentado desde hace 10 años en el Instituto de Matemáticas.

Temario:

Teoría Espectral de Álgebras C*.

• Álgebras C*.
• Homomorfismos.
• Ideales.
• Espectro de un elemento.
• Radio Espectral.
• Teorema de Gelfand-Naimark.
• Cálculo Funcional.
• Representaciones y Estados.
• Teorema de Gelfand-Naimark-Segal.
• Diccionario entre Geometría y Álgebra.

Introducción a los Espacios Cuánticos.

• Grupos Cuánticos.
• Cálculo Diferencial Cuántico.
• Haces Principales Cuánticos.
• Ejemplos de Espacios Cuánticos.

Bibliografía:

• Connes A: Noncommutative Geometry, Academic Press (1994).
• Durdevich Micho: Geometry of Quantum Principal Bundles. Parte I: Commun Math Phys, 175 457-521 (1996). Parte II: Rev Math Phys, 9 (5) 531-603 (1997).
• Gerard J. Murphy, C*-Álgebras And Operator Theory, Academic Press (1990).
• Peter A. Fillmore, A user's guide to Operator Algebras, A Wiley-Interscience Publication, 1996.
• Sontz Stephen: Principal Bundles-The Quantum Case, Springer-Verlag (2015).
• Woronowicz S L: Compact Matrix Pseudogroups, Commun Math Phys, 111 613-665 (1987).
• Woronowicz S L: Differential Calculus on Compact Matrix Pseudogroups/ Quantum Groups, Commun Math Phys, 122 125-170 (1989).