Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Seminario de Geometría B

Formas diferenciales y foliaciones.

Salón de seminariosGraciela Salicrup del Instituto de Matemáticas .

Lunes a viernes (8-9 am.)

Laura Ortiz Bobadilla (profesora)

Jesús Alberto Palma Márquez (ayudante)

El objetivo de este curso es dar a los estudiantes una herramienta de gran

utilidad: las formas diferenciales. El enfoque que se dará pone el acento en

la comprensión geométrica del lenguaje de las k-formas y de las k-formas

diferenciales. Para ello nos apoyaremos fuertemente en el libro de V.I. Arnold,

“Mathematical Methods of Classical Mechanics” (capítulo 7). Una vez asimilados

los conceptos de formas diferenciales pasaremos a hacer uso de ellas en variedades.

Veremos la relación que hay de ellas con las ecuaciones diferenciales ordinarias y

la teoría de foliaciones. Daremos nociones básicas de homología y cohomología de

modo que el alumno tenga un primer acercamiento a estos conceptos desde un

punto de vista geométrico. Se verá, a su vez, el Teorema de Frobenius como una

aplicación de la teoría.

1. k- formas y su interpretación geométrica.

2. Producto exterior de k formas.

3. Formas diferenciales.

4. Formas diferenciales cerradas y exactas.

5. Primer grupo de cohomología de de Rham.

6. Derivada exterior de formas diferenciales.

7. Concepto de “jalar” una forma (“pullback”)

8. Formas diferenciales en superficies y en variedades.

9. Foliaciones y explosión de singularidades haciendo uso de la herramienta de formas.

10. Integración de formas.

11. Lema de Poincaré para 1-formas.

12. Integración en variedades.

13. Conceptos básicos de homología.

14. Teorema de Stokes (general).

15. Teorema de de Rham.

16. Sucesión de Mayer-Vietoris.

17. Teorema de Frobenius.

Habrá clase todos los días y no se seguirá linealmente un libro, por lo que la asistencia es fundamental. Algún punto (no muy complicado) de clase se les dejará investigar a los alumnos por su cuenta (esto para evitar cortar el hilo conductor del curso).

Bibliografía.

Se hará uso de los siguientes libros (aunque en el transcurso del semestre se irá recomendando alguna otra bibliografía):

a) Arnold V.I., “Mathematical Methods of Classical Mechanics” (capítulo 7).

b) Tu L. "An introduction to manifolds", Universitext, Springer Verlag.

c) Morita S., “Geometry of Differential forms”.