Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

1.Presentación

La teoría de los grupos de Lie tiene un lugar especial en las matemáticas por varias razones. Primero, se trata de un área en la que confluyen la geometría, el álgebra y el análisis de manera natural. Segundo, es un área que surge a partir de un intento de generalizar la noción geométrica de simetría a otros campos, es decir de ver las cosas con anteojos de geómetra. Finalmente, estamos ante un área que tiene múltiples aplicaciones a la física, biología y química.

En este curso daremos una introducción panorámica a la teoría de Lie, sus definiciones, sus métodos y resultados. Trataremos de privilegiar los enfoques geométricos sin perder de vista la riqueza de la teoría. Nos enfocaremos en desarrollar los temas, de tal forma que las aplicaciones sean abordadas de manera natural y no como mera curiosidad.

El curso tratará de ser autocontenido, sin embargo se recomienda que los alumnos hayan cursado satisfactoriamente los cuatro cursos de Cálculo y al menos un curso de Álgebra Lineal. No es indispensable haber llevado cursos de Geometría Diferencial o Álgebra Moderna, aunque sería de gran ayuda tener nociones básicas de los conceptos abordados en dichos cursos. De ser necesario, sobre la marcha daremos un breve repaso del material previo, pero se espera cierta madurez y compromiso por parte del alumno para asimilar los conceptos con los que no esté familiarizado.

2. Temario

1. Introducción a la teoría de Lie.
a) Variedades diferenciables y formas diferenciales en variedades.
b) Grupos de Lie y su álgebra de Lie asociada.
c) La aplicación exponencial.
d) Teoremas fundamentales de Lie.

2. Grupos clásicos.
a) Subgrupos de Cartán.
b) Grupos que preservan volumen.
c) Grupos que preservan métrica.
d) Propiedades de los grupos clásicos,

3. Espacios simétricos.
a) Grupos de isometrías
b) Aplicación exponencial y curvatura
c) Espacios simétricos globales y locales
d) Grupos de Lie compactos.

4. Algunas aplicaciones.
a) Átomos hidrogénicos
b) Ecuaciones de Maxwell
c) Simetrías en Ecuaciones Diferenciales
d) Sistemas conservativos.

3. Referencias

[1] Gilmore, R. Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications, Wiley-Interscience, 1974.
[2] Gilmore, R. Lie groups, physics and geometry.An Introduction for Physicists, Engineers and
Chemists. Cambridge University Press. 2008.
[3] Rossmann, Wulf. Lie Groups. an introduction through linear groups. Oxford University Press.
2002,
[4] Helgason, Sigurdur, Differential Geometry, Lie groups and symmetric spaces. Academic Press.
1978.
[5] Warner, Frank. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.
[6] Olver, Peter. Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer, 2000.

4. Evaluación

Se propone que la evaluación tome en cuenta los siguientes puntos:
1. Tarea-Examen , mini-exposiciones.
2. Trabajo Final. Puede ser la profundización de algún tema visto en clase o bien de algún tema
que no se haya abordado, pero que sea de interés para el curso. El trabajo consta de un
informe escrito y una exposición breve.

Página del curso : https://sites.google.com/ciencias.unam.mx/seminariolie/