Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

Análisis Matemático II.

Profesor. Dr. Gerardo Sánchez Licea.

Ayudante. Luis Francisco Bazán Estrada.

Evaluación. Para las partes 1 y 2 del curso (puntos 1 y 2) examen escrito en el salón de clases, uno por cada parte. Antes de cada examen Luis les entrega una tarea que no es obligatoria pero ayuda a estudiar y a subir décimas al final del curso.

Para la parte 3 (punto 3) tarea-examen individual a casa.

Para la parte 4 (punto 4) tarea-examen en equipo a casa.

Todas las evaluaciones tienen el mismo valor, esto es, la calificación final del curso es la suma de las cinco evaluaciones entre cinco.

Temario.

1.- Medida de Lebesgue.

- Álgebras de conjuntos, comparación con topologías.

- Conjuntos de Borel, conjuntos $F_{\sigma}$ y conjuntos $G_{\delta}$.

- Medida exterior.

- Conjuntos medibles y medida de Lebesgue.

- Un conjunto no medible, conjunto de Vitali.

- Funciones medibles.

- Tres principios de Littlewood.

2.- La integral de Lebesgue.

- La integral de Riemann.

- La integral de Lebesgue de una función acotada sobre un conjunto de medida finita, Teorema de convergencia acotada.

- La integral de una función no negativa, Lema de Fatou, Teorema de convergencia monótona.

- La integral general de Lebesgue, Teorema de convergencia dominada.

- Convergencia en medida.

3.- Diferenciación e integración.

- Diferenciación de funciones monótonas.

- Funciones de variación acotada.

- Diferenciación de una integral.

- Continuidad absoluta.

- Funciones convexas.

4.- Espacios de Banach.

- Espacios $L^{p}$.

- Las desigualdades de Minkowski y Hölder

- Convergencia y espacios completos.

- Aproximaci\'on en $L^p$.

- Funcionales lineales acotados en espacios $L^{p}$.

Bibliografía.

Apostol, T., Análisis Matemático, Segunda edición,1996.

Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis, New York: J. Wiley, 1964.

Jost, J., Postmodern Analysis, New York: Springer-Verlag, 1998.

Royden, H. L., Real Analysis, Third Edition, Prentice Hal, 1988.

Rudin, W., Principios de Análisis Matemático, 2da. Edición, México: McGraw Hill, 1980.