Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

Esta materia es de gran belleza e importancia, ya que conjuga el álgebra, la geometría, el cálculo y la topología. El curso que impartiré cubrirá por completo el temario vigente que fue aprobado por el Consejo Técnico en años recientes, se probarán de manera detallada todos los teoremas y se exhibirán muchos ejemplos. Se publicó una tercera edición de mi libro que cubre el temario y considero que ayuda a los alumnos a entender los temas de manera simple. Aunque el libro de Marsden-Hoffman cubre (y rebasa) el temario, en ciertos puntos cruciales me parece confuso e innecesariamente complicado, sin embargo es una referencia obligada, al igual que el libro de Ahlfors, este último del nivel de la maestría.

TEMARIO

I. PRELIMINARES Y ANALITICIDAD

a) Álgebra y geometría de complejos.

b) Continuidad. Proyección estereográfica, métrica cordal.

c) Funciones elementales: exponencial, ramas de logaritmo, raíces, potencias,trigonométricas.

Descripción analítica y geométrica.

d) Analiticidad, ecuaciones de Cauchy-Riemann. Diferenciación de las funciones elementales,

dominios de analiticidad.

e) Conformalidad, teorema de la función inversa.

II. INTEGRACIÓN

a) Integral compleja, el teorema fundamental del cálculo, cotas superiores de integrales.

b) Versiones particulares e intuitivas del teorema de Cauchy.

c) Lema de Goursat, teorema de primitivas locales.

d) Teorema de la deformación con homotopías, teorema de Cauchy, teorema de la primitiva,

generalización de la función logaritmo.

f) Integrales de tipo Cauchy, índice, fórmulas integrales de Cauchy.

g) Teoremas de: Liouville, fundamental del álgebra y Morera

h) Lema de Schwartz y teorema del máximo módulo para funciones analíticas y armónicas.

i) Funciones armónicas conjugadas, problema de Dirichlet y fórmula de Poisson.

III. SERIES

a) Convergencia absoluta e uniforme, prueba M de Weierstrass, teorema de Weierstrass.

b) Lema de Abel, teorema de Taylor, radio de convergencia, criterios de la raíz y de la

razón para series de potencias, productos de series.

c) Fórmula de Cauchy para el anillo, teorema de Laurent.

d) Clasificación de singularidades, teorema de Riemann, relación entre ceros y polos.

e) Singularidades esenciales, teorema de Casorati-Weierstrass.

f) Cálculo de residuos.

IV TEOREMA DEL RESIDUO Y APLICACIONES

a) Teorema del residuo.

b) Cálculo de integrales impropias de funciones racionales, cálculo de integrales

trigonométricas.

c) Cálculo de integrales definidas por la transformada de Fourier.

TEXTO:

Lascurain Orive, A. Curso básico de variable compleja, 3a edición Las prensas de Ciencias, UNAM 2016.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA:

Hoffman M.J. y Marsden J.E. Basic Complex Analysis, Freeman.

Alfhors L, Complex Analysis, Mc Graw Hill.

Para la parte geométrica (transformaciones de Moebius)

Lascurain Orive, A. Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional,

2ª edición, Las prensas de Ciencias, UNAM 2017.