Matemáticas (plan 1983) 2019-1

Tercer Semestre, Álgebra Lineal I

En este curso abordaremos el programa de la materia de álgebra lineal I con base en el plan de estudios, tratando de abarcar de manera breve y al finalizar el curso (si el tiempo lo permite) aspectos de espacio dual, bilinealidad y una mirada a tensores.

El sitio del curso es:

https://sites.google.com/ciencias.unam.mx/algebralineal-20191-4143

El temario a cubrir será el siguiente:

ÁLGEBRA LINEAL I
Contenido Temático:

I. Espacios vectoriales
1. Campos.
2. Espacios vectoriales.
3. Subespacios vectoriales.
4. Dependencia lineal.
5. Bases y dimensión.
6. Sumas directas.

II. Matrices
1. El espacio de las matrices.
2. Multiplicación de matrices. Matrices elementales. Matriz inversa.
3. Sistemas de ecuaciones lineales.

III. Transformaciones lineales
1. El espacio de las transformaciones lineales.
2. Núcleo e imagen de una transformación lineal.
3. Composición de transformaciones lineales.
4. La transformación inversa.
5. Espacios isomorfos.

IV. Transformaciones lineales y matrices
1. La transformación lineal asociada a una matriz.
2. La matriz asociada a una transformación lineal.
3. Isomorfismos entre el espacio de matrices y el de transformaciones lineales.
4. Cambios de base.

V. Producto escalar
1. Productos escalares y hermitianos.
2. Ortogonalidad.
3. Productos positivos, normas y ángulos.
4. Coeficientes de Fourier.
5. Bases ortogonales (caso positivo).
6. Complemento ortogonal de un subespacio.
Aplicación a los sistemas de ecuaciones.
7. Bases ortogonales (caso general).
8. Espacio dual.

VI. Determinantes
1. Unicidad del determinante.
2. Determinante de un producto.
3. Invertibilidad de matrices y determinantes.
4. Determinante de un operador lineal.

VII. Transformaciones simétricas
1. Definición y propiedades elementales de valores y vectores propios.
2. Polinomio característico.
3. Existencia de valores propios reales de transformaciones simétricas.
4. Teorema espectral para transformaciones simétricas.
5. Ejemplos.