Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático B

Teoría de Operadores lineales y ecuaciones diferenciales parciales.

Requisitos: Cálculo I-IV, álgebra lineal I-II, ecuaciones diferenciales ordinarias I, variable compleja I y análisis I-II. Además es importante que el alumno esté familiarizado con espacios de Sobolev (véase nota 2 al final). Será de gran ayuda que el alumno tenga en su curriculum los cursos de ecuaciones diferenciales parciales I y cálculo de variaciones, sin embargo, éstos no son necesarios.

Temario:

I. Teoremas fundamentales para espacios nomados y de Banach.

• Teorema de Cateogría de Baire y algunas consecuencias.
• Principio de acotamiento uniforme.
• Teorema del mapeo abierto.
• Teorema de la gráfica cerrada.
• Teorema de Hahn-Banach y algunas consecuencias.

II. Teoría espectral para operadores lineales compactos.

• Propiedades espectrales para operadores lineales continuos.
• Espectro y resolvente.
• Operadores lineales compactos.
• Propiedades espectrales para operadores lineales compactos.
• Alternativa de Fredholm.
• Aplicaciones a ecuaciones integrales lineales.
• Propiedades espectrales para operadores lineales compactos y autoadjuntos (teorema de Hilbert-Schmidt).
• Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales.

III. Análisis espectral del Laplaciano.

• Operador de Laplace-Dirichlet.
• Eigenfunciones para el operador de Laplace-Dirichlet.
• Fórmulas min-max y max-min de Courant-Fisher.
• Propiedades asintóticas (*).

IV. Teoría espectral para operadores lineales autoadjuntos (acotados y no-acotados). (*)

V. Introducción a la teoría de semigrupos de operadores lineales.

• Semigrupos uniformemente continuos.
• Generadores de semigrupos fuertemente continuos.
• Co-semigrupos.
• Generador infinitesimal.
• Teoremas de generación (Teorema de Hille-Yosida, Teorema de Feller-Miyadera-Phillips, Teorema de Lumer-Phillips).

VI. Operadores diferenciales que generan Co-semigrupos.

• Operador de Laplace-Dirichlet.
• Operador de Laplace-Neumann.
• Operador de Maxwell.
• Operador de Schrödinger.
• Operador de onda.

VII. Problema de Cauchy no-homogéneo. (*)

Notas:

1. Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.
2. Si hay personas interesadas pero que no están familiarizados con la teoría de espacios de Sobolev pueden tomarse el primer mes de clases para estudiarlos pues, como verán en el temario, tardaremos un poco en llegar a las aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales, que es donde usaremos estos espacios.
3. El primer bloque del temario se impartirá rápidamente, pues aunque constituye los teoremas básicos más importantes del análisis funcional, nosostros los utilizaremos para entender el lenguaje de la teoría de operadores. Si la audiencia resulta estar familiarizada con estos teoremas, los omitiremos del temario y avanzaremos a los bloques que representan al curso. Esto se establecerá el primer día de clases.
4. En cuanto al cuarto bloque, lo ideal sería hacer todo lo posible para abordarlo, pues en éste se probaría el teorema espectral para operadores lineales autoadjuntos, acotados y no acotados. Abordar este tema nos permitirá profundizar más en la teoría de semigrupos. Sin embargo, en caso de no ser posible, aún así podremos entender adecuadamente la teoría de semigrupos contenida en los bloques V y VI.

Bibliografía:

• Adams, Fournier. Sobolev Spaces.
• Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
• Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial differenial Equations.
• Ciarlet. Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.
• Davies. One-Parameter Semigroups.
• Engel, Nagel. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Helfeer. Spectral Theory and its applications.
• Kantorovitz. Semigroups of operators and spectral theory.
• Kesavan. Functional Analysis.
• Kesavan. Topics in Functional Analysis and Applications.
• Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications.
• Oliveira. Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics.
• Pazy. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.
• Porter, Stirling. Integral Equations.
• Reed, Simon. Methods of Modern Mathematical Physics Vol I.
• Robinson. Infinite-Dimensional Dynamical Systems.
• Yosida. Functional Analysis.

Evaluación:

El curso se evaluará con 70% exámenes parciales (al menos cuatro) y 30% una tarea-examen. El alumno tendrá derecho a una reposición. También, habrá un examen final para el alumno que lo requiera, sin embargo, éste será dividido en tres partes: la tarea-examen y dos exámenes escritos.