Profesor | David Philip Sanders |
Ayudante | Leonardo Mariano Castro González |
Simulación de sistemas dinámicos nolineales - con aplicaciones en neurociencias
Profesor: Dr. David P. Sanders
Cubículo #414, 4o. piso, Departamento de Física
Materia optativa para las Licenciaturas de la Facultad de Ciencias
3 horas semanales; 6 créditos
Horario: Martes 14-15:30; jueves 13:30-15:00
Objetivo:
Aprender a simular sistemas dinámicos en tiempo continuo (ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) nolineales) y aplicar herramientas numéricas para encontrar características útiles del sistema, por ejemplo, sus puntos fijos, órbitas periódicas, y bifurcaciones. Las aplicaciones principales a tratar serán a los modelos de neuronas.
Requisitos:
Ecuaciones Diferenciales I; Álgebra Lineal; experiencia de cómputo en algún lenguaje.
Detalles:
Ocuparemos el lenguaje de programación Julia (www.julialang.org), el cual se aprenderá rápidamente al principio del curso.
El curso tiene una parte teórica, pero la énfasis radica en la parte computacional para visualizar los comportamientos de los sistemas y calcular cantidades relevantes utilizando herramientas numéricas.
Temario:
1. La visión cualitativa
Espacio fase de EDOs en N dimensiones
Existencia y unicidad (repaso)
Tipos de comportamiento asintótico posibles (conjuntos límite)
Sistemas conservativos y disipativos
Simulación de trayectorias mediante métodos numéricos
2. Puntos fijos
Método de Newton para encontrar puntos fijos
Estabilidad lineal: Eigen-valores y -vectores
3. Bifurcaciones locales
EDOs con parámetros
Concepto de bifurcación
Continuación numérica para trazar líneas de bifurcación
4. Ciclos límite
Bifurcación de Hopf
Osciladores de relajación: oscilador de Van der Pol
5. Modelos de neuronas
Hodgkin-Huxley
Fitzhugh-Nagumo y otros modelos reducidos
Puntos fijos y ciclos límite
6. Variedades invariantes
Espacios invariantes para ecuaciones lineales
Varidades estable e inestable
Cálculo numérico de variedades uni-dimensionales
7. Bifurcaciones homoclínicas y heteroclínicas
Bifurcaciones globales
Aplicaciones en modelos de neuronas
Otros temas de interés de los asistentes.
BIBLIOGRAFÍA:
Sistemas dinámicos nolineales
Más apropiados para el curso:
*Nonlinear Dynamics and Chaos, Strogatz
* Stability, Instability and Chaos, Glendinning
* Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos, Hirsch, Smale & Devaney
Más avanzados:
* Chaos in Dynamical Systems, Ott
* Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Guckenheimer & Holmes
Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2a. edición), Wiggins
Más matemáticos:
* Ordinary Differential Equations, Arnold
* A First Course in Dynamics, Hasselblatt & Katok
Differential Dynamical Systems, Meiss
Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics and Chaos, Robinson
Modelos en neurociencias
Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting, Izhikevich
Computational and Mathematical Modeling of Neural Systems, Dayan & Abbott
Mathematical Physiology, Keener & Sneyd
* = particularmente recomendado