Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Semestre 2018-2

Renato Leriche Vázquez y Eleazar Téllez Rojas

1. Conceptos básicos y dinámica en ℝ.
   1. Introducción. Modelos de poblaciones. Métodos numéricos iterativos. Sistemas Dinámicos y Sistemas Dinámicos Discretos.
   2. Conceptos básicos. Iteradas e Iteraciones. Órbitas. Puntos Fijos, Periódicos, Pre-Periódicos y Asintóticamente Periódicos.
   3. Hiperbolicidad. Puntos Atractores y Repulsores. Puntos Neutros. Teoremas de Hiperbolicidad. Conjuntos Hiperbólicos.
   4. Herramientas visuales. Retrato Fase. Análisis Gráfico.
   5. Teorema de Sharkovsky. Casos particulares. Teorema de Li-Yorke. Teorema y Orden de Sharkovsky. La duplicadora.
2. Caos y estabilidad.
   1. Estabilidad. Estabilidad de órbitas. El ω-conjunto límite. Recurrencia.
   2. Caos. Sensibilidad a las condiciones iniciales. Transitividad Topológica. Órbitas Densas. Definición de Caos de Devaney.
   3. Conjugación Topológica. Propiedades dinámicas que se conservan bajo conjugación. Equivalencia de sistemas.
   4. Otras medidas de estabilidad y caos. Exponentes de Lyapunov. Entropía Topológica.
3. Sistemas dinámicos discretos en otros espacios.
   1. Dinámica Simbólica. La función corrimiento en el espacio de 2 símbolos. Subcorrimientos de tipo finito. Itinerarios. El Conjunto de Cantor. La sumadora de Misiurewicz.
   2. Mapeos del Círculo. Rotaciones. Teorema de Jacobi. El Número de Rotación.
4. Familias y espacios de funciones.
   1. Familias de Funciones. Diagramas de Órbitas. Diagramas de Bifurcación.
   2. Bifurcaciones. Bifurcación Tangente. Bifurcación de Duplicación del Periodo.
   3. Familia Logística. Análisis de Bifurcaciones. Zona Caótica. Ventanas del Diagrama. Ejemplo de Renormalización.
   4. Estabilidad Estructural. Espacios de funciones. Teoremas de Estabilidad.
5. Introducción a la sistemas dinámicos discretos en espacios de dimensión mayor. (Opcional).
   1. Introducción a la dinámica en ℝⁿ. Transformaciones Lineales. Introducción a la Herradura de Smale. Introducción a Mapeos en el Toro.
   2. Introducción a la dinámica en ℂ. La familia Cuadrática. Conjuntos de Julia y Fatou. El conjunto de Mandelbrot.

• 30%. Cuatro tareas, una por unidad-mes (U1-Febrero, U2-Marzo, U3-Abril, U4-Mayo). La unidad 5 no se evaluará.
• 60%. Cuatro exámenes, uno por unidad-mes. Se permiten reposiciones de todos los exámenes. No habrá examen final.
• 10%. Una exposición, de duración 30 a 50 minutos, a realizarse entre los meses de Mayo y Junio. Temas propuestos: Teoremas sobre la definición de Caos de Devaney, Resulados de Entropía Topológica, El Atractor de Sistemas de Funciones Iteradas, La Constante de Feigenbaum, La Derivada Schwarziana, Dinámica en Hiperespacios, y algunos otros por definir...

Bibliografía

• Principal.
  • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.
  • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
  • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004
• Complementaria.
  • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.
  • Devaney, R.L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems-Theory & Experiments. 1992.
  • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.