Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas II

Simetrías y grupos en teoría de bifurcaciones: aplicaciones a la biología evolutiva, a la locomoción animal, y al sistema visual

Las simetrías de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales pueden ser usadas, de manera sistemática y unificada, para analizar, predecir e intender distintos fenómenos dinámicos, desde las bifurcaciones de equilibrios hasta la formación de patrones espacio-temporales. De manera más especifica, las simetrías de un sistema se pueden usar para construir un “catálogo” de comportamientos típicos. Este catálogo es en buena parte “independiente del modelo” bajo estudio: todos los modelos con una simetría dada exploran el mismo rango de tipos de bifurcaciones y formación de patrones, y este rango de comportamientos puede estudiase en sí, sin referencias a muchos de los detalles del modelo.

Ejemplo de sistemas físicos que pueden ser estudiados con estos métodos son la aparición y la desaparición de especies animales, los posibles tipos de locomoción animal en función del numero de extremidades locomotoras, y la formación de patrones en el sistema visual.

El curso se basará principalmente en material tomado de los capítulos 1,2,3,5 del libro Golubitsky y Stewart “The symmetry perspective. From equilibrium to chaos in phase space and physical space”.

Los temas abordados serán también conectados a la investigación desarrollada por responsable del curso, con el objetivo de sentar posibles temas de tesis.

Lo largo del curso se usarán conceptos de:

- Ecuaciones diferenciales

- Teoría básica de bifurcaciones

- Teoría básica de grupos y sus representaciones en Rn

Bibliografía complementaria:

*Strogatz “Nonlinear dynamics and chaos” - Capítulos 2,3,5,6,7,8

*Gucknheimer y Holmes - Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields” - Capítulos 1,3

*Artin “Algebra” - Capítulos 1,2,3,5,9