Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático B

Teoría Ergódica

Resumen

La Teoría Ergódica se puede definir como: (a) el estudio de las propiedades estadísticas de los grupos de movimientos de objetos no aleatorios (Sinai), (b) el desenvolvimiento matemático de consideraciones físicas emanadas de la Mecánica Estadística (Halmos), (c) el estudio cualitativo de las acciones de grupos sobre espacios (Walters), (d) las matemáticas “asintóticas” o del “muy largo plazo” de los sistemas dinámicos, (e) el estudio de los invariantes y los problemas de clasificación asociados a la categoría de sistemas que preservan medida.

Desde el punto de vista docente, la Teoría Ergódica es un ambiente donde una gran cantidad de áreas de la Geometría, el Álgebra, el Análisis y sus aplicaciones confluyen, permitiendo construir un curso avanzado donde el estudiante puede apreciar la unidad de las Matemáticas integrando nociones e intuiciones en principio muy distantes. La cantidad de ejemplos en la teoría es enorme, de modo que conceptos y teoremas siempre pueden ser motivados convincentemente.

Temario

1. Transformaciones que preservan medida

   1. Definiciones, ejemplos y problemas de la Teoría Ergódica

   2. Existencia de medidas invariantes

   3. Recurrencia

2. Teoremas Ergódicos

   1. Teorema ergódico de von Neumann

   2. Teorema ergódico maximal

   3. Teorema ergódico de Birkhoff

   4. Teorema ergódico subaditivo

   5. Teorema ergódico de Szemerédi

3. Ergodicidad y mezclado

   1. Ergodicidad

   2. Medidas ergódicas

   3. Mezclado

   4. Mezclado fuerte

   5. Ergodicidad única

4. Nociones de equivalencia de sistemas

   1. El problema de isomorfía

   2. Conjugación

   3. Invariantes espectrales

5. Construcciones

   1. Factores

   2. Productos

   3. Flujos bajo una función

   4. Transformaciones inducidas

   5. Límites inversos

6. Descomposición y desintegración

   1. Teorema ergódico de descomposición

   2. Teorema de desintegración de Rokhlin

7. Entropía

   1. Entropía de vectores de probabilidad y de particiones

   2. Entropía condicional

   3. Entropía de procesos

   4. Entropía de transformaciones que preservan medida

   5. Teorema de Kolmogorov-Sinai

   6. Teoría de la información

   7. Teorema de Shannon-McMillan-Breiman

   8. Teoría de Ornstein

8. Principio Variacional

   1. Entropía topológica

   2. Presión topológica

   3. La propiedad variacional de la entropía

Bibliografía

Ergodic Theory

I. P. Cornfeld, S. V. Fomin & Ya. G. Sinai

Springer-Verlag 1982

Lectures on Ergodic Theory

P. R. Halmos

Chelsea Publishin Company 1960

Ergodic Theory and Differentiable Dynamics

R. Mañé

Springer-Verlag 1987

Ergodic Theory

K. Petersen

Cambridge University Press 1991

Introduction to Ergodic Theory

Ya. G. Sinai

Princeton University Press 1977

Foundations of Ergodic Theory

M. Viana

Cambridge University Press 2016

An Introduction to Ergodic Theory

P. Walters

Springer-Verlag 1982