Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra B

1. Algunos preliminares.

Haremos un repaso breve de los conceptos y métodos categóricos básicos.

2. Categorías de Funtores.

Desribiremos algunas categorías de funtores específicas que son topos, exhibiendo en cada una las construcciones que se requieren. A partir de estos ejemplos extraeremos la formulación de los axiomas para un topos

3. Gavillas de conjuntos y sus aplicaciones en variedades y geometría algebraica.

Comenzaremos con la noción de gavilla en un espacio topológico y se le asignará a los alumnos ejemplos de gavillas para su análisis y exposición.

4. Topologías de Grothendieck

Estudiaremos la noción de sitio de Grothendieck y contruiremos la noción de gavilla sobre un sitio a partir del conocimiento de gavillas sobre espacios. Estudiaremos el proceso '+' de Grothendieck para la gavillanización. Estudiaremos la estructura de topos de la categoría de gavillas sobre un sitio.

5. Propiedades elementales de topos.

Presentaremos las condiciones elementales que hacen de una categoría un topos y estudiaremos las propiedades básicas que satisfacen estas categorías.

6. Morfismos geométricos.

Estudiaremos los morfismos entre topos y principlamente presentaremos ejemplos concretos de ellos.

* Temas opcionales de lógica caegorica a tratar

• S. Mac Lane, I. Moerdijk. Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, New York, 1992.
• T. Leinster. Basic Category Theory. Cambridge university press, UK, 2014.
• W. Lawvere, R. Rosebrugh. Sets for Mathematics. Cambridge University Press, 2003.
• P, Johnstone. Sketches of an Elephant: a topos theory compendium Oxford University Press, 2002

Evaluación:

• Tarea- exámen: Temas 2, 3 y 4.
• Tarea - examen: Temas 5 y 6.
• Una exposición