Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Algebraica I

El temario del curso está basado en el libro de Curvas Algebraicas de William Fulton

TEMARIO:

0.- Álgebra Conmutativa (esta parte es sólo un repaso, y no es parte de la evaluación)

• Anillos e Ideales
• El anillo de polinomios
• Localización
• k- álgebras

1.- Conjuntos algebraicos afines

• El espacio afín
• Conjuntos algebraicos afines y la topología de Zariski
• Conexión algebra-geometría
• Descomoposición en componentes irreducibles
• Nullstellensantz
• Morfismos regulares (el anillo de coordenadas)

2.- Conjuntos algebraicos proyectivos

• El espacio proyectivo
• Repaso de anillos
• Traspasar el capítulo 1 al espacio proyectivo

3.- Morfismos racionales

• Mapeos racionales
• Equivalencia entre variedades afines y extensiones de campos finitamente generados

4.- El espacio tangente

• Definición del espacio tangente
• Variedades suaves y singulares
• Blow-up

5.-Propiedades locales de curvas planas

• Puntos multiples y lineas tangentes
• Multiplicidad y anillos locales
• Numeros de intersección

6.- Curvas proyectivas planas

• Sistemas lineales de curvas proyectivas
• Teorema de Bezout
• Teorema Fundamental de Max Noether

7.- Resolución de singularidades

• Mapeos racionales en curvas
• Transformaciones cuadráticas
• Modelo no singular de curvas

8.- Teorema de Riemann-Rock en curvas.

Adicionalmente se hablará de otros temas de la geometría algebraica, que contarán como temas divulgativos, los cuales no contarán en la evaluación del curso.

La forma de evaluar será:

• 80% examenes y tareas examen (la idea es que se hagan dos examenes de los capítulos 1,2,3 y 4 y tareas examen del resto de los temas)
• 20% Exposición (se puede exentar está parte, si el promedio de los examenes y tareas examen es de 10)

Bibliografía básica:

1. Algebraic curves "An introduction to Algebraic Geometry", William Fulton,
2. Elementary Algebraic Geometry, Klaus Hulek
3. Basic Algebraic Geometry, Igor Shafarevich
4. Notas de geometría algebraica, Felipe Zaldivar