Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Conjuntos Convexos

Conjuntos Convexos

Un subconjunto de un espacio vectorial es convexo si el segmento de recta determinado por cualesquiera dos de sus puntos esta contenido en el conjunto, esta definición aunque básica tiene muchas implicaciones geométricas muy interesantes. La convexidad juega un papel importante en diversas áreas de la matemática como lo es el Análisis Matemático, Geometría, Topología, Programación Lineal etc... así pues un estudio de los conjuntos convexos resulta importante en la formación academica de un alumno de Matematicas. El curso esta enfocado en desarrollar, exponer y discutir los temas más clásicos de convexidad, para que el estudiante, si asi lo desea, profundize mas en los temas.

Requisitos: Geometria analitica I, conceptos de espacio vectorial, linealmente independiente y linealmente dependente, buena intuición geometrica.

Temario

1. Conjuntos convexos y sus propiedades

1.1 Definición y propiedades.

1.2 Suma y multiplicación escalar de conjuntos convexos.

1.3 Envolvente convexa y combinaciones convexas.

2. Topología (muy) básica de Rⁿ

2.1 Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos.

2.2 Interior, cerradura y frontera.

2.3 Algunas propiedades topológicas de los conjuntos convexos.

2.4 Continuidad (conceptos basicos).

3. Geometría Afín

3.1 Subespacios afines.

3.2 Combinaciones afines y envolvente afín.

3.3 Subconjuntos afínmente dependiente y afínmente independiente.

3.4 El teorema de Caratheodory.

4. Separación y soporte

4.1 Hiperplanos.

4.2 Teoremas de separación y soporte.

4.3 La proyección sobre conjuntos convexos.

5. Teorema clásicos de convexidad

5.1 Puntos extremos y teorema de Krein-Milman.

5.2 El teorema de Minkowski.

5.3 El teorema de Helly y sus implicaciones.

5.4 El teorema de Radon.

5.5. Ejemplos de programación lineal.

6. El teorema de Blaschke

6.1 La métrica de Hausdorff.

6.2 Convergencia de conjuntos con la metrica de Hausdorff.

6.2 El teorema de Blaschke.

7. Funciones Convexas.

7.1 Definiciones, ejemplos y propiedades.

7.2 Función soporte y Funcional de Minkowsky.

7.3 Continuidad y diferenciabilidad.

8. Figuras de ancho constante

8.1 Definición del ancho de figuras en el plano.

8.2 Figuras de ancho constante y sus propiedades.

8.3 Normales y binormales.

Bibliografia: Lay, Convex sets and their applications; Yaglom I, Boltianski V, Convex figures; Webster, Convexity.

EVALUACIÓN: Se discutira la evaluación la primer semana del curso, esta depende de cuantos alumnos se queden en el curso.