Matemáticas (plan 1983) 2018-2

Quinto Semestre, Variable Compleja I

Variable Compleja I: Una Q-Vuelta Visual

Por Micho Durdevich, con Asistencia de Perla Cecilia Lucio Peña

Introducción

La bellísima y fundamental para todo el arte matemático Variable Compleja promueve, en una variedad de formas, pensamientos unificantes. Gracias a la "imposible" i, la raiz cuadrada de -1, los números se salen de la unidimensionalidad del continuo real. Y todo el plano Euclidiano, ya se transforma a un sistema aritmético.

Una unificación entre geometría y aritmética. Geometría aritmetizada, o aritmética geometrizada.

Y si consideramos el cálculo con las funciones de variable compleja, ocurre una serie de fenómenos únicos. Por ejemplo, si una función es diferenciable una vez, entonces es diferenciable infinitamente, y tambien se puede desarrollar en serie de potencias, es decir es analitica. Y como es analitica, su comportamiento es completamente determinado en la arbitraria vecindad de cada uno de los puntos. Lo global y grande, se esta reflejando fielmente en lo local y pequeño.

Nuestro enfoque va a ser muy visual, y en particular utilizaremos la técnica de paleta circular de colores, para encodificar la fase de la función compleja. Resulta que la fase determina la función diferenciable, completamente, modulo un factor positivo multiplicador constante.

Toda la clase contara con las herramientas de software libre, para generar estas imagenes. Arriba podemos ver, la básica paleta de colores, y un retrato de la función Zeta de Riemann, en un rectangulo áureo, con lineas de constante fase y módulo, y algo de Sombra. Se ven zeros z=-4, z=-2 y polo z=1. Con un poco de práctica y experimentación, es facil y divertido conocer la función en términos de sus varios retratos coloreados...

Y si añadimos un punto al plano complejo, la representación de la infinidad geométrica, el plano se cierra a una esfera. Y esta esfera la podemos identificar con el horizonte de la infinidad de nuestro espacio físico 3-dimensional, es decir, el cielo geométrico hecho de rayos de Luz.

Y resulta, que las simetrías diferenciables en el sentido complejo de esta esfera-cielo, no son otra cosa que las simetrías que provienen de la Teoría de la Relatividad Especial, transformando los rayos de Luz. Son tambien conocidas como transfromaciones de Moebius, y tambien se pueden describir como todos los movimientos celestiales que preservan a los círculos.

La esfera de Riemann es la mas simple de todas las superficies de Riemann--las curvas hechas de números complejos.

Temario

Los principales capítulos del curso son:

• Geometría y aritmética elemental de números complejos. Forma polar. Transformaciones Euclidianas. Inversión y transformaciones de Moebius. Esfera de Riemann.
• Ejemplos básicos y sus visualizaciones. Polinomios. Función exponencial, y funciones trigonométricas complejas. Logaritmo y potencias. Funciones multivaluadas. El concepto de superficie de Riemann.
• Propiedades generales de las series de potencias. Diferenciabilidad. Radius de convergencia.
• Cálculo diferencial. Ecuaciones Cauchy-Riemann. Interpretación geométrica de la diferenciabilidad.
• Cálculo integral. Teorema y formula de Cauchy. Interpretación geométrica de integrales. Analicidad de funciones holomorfas. Teorema y cálculo de residuums. Series de Taylor y Laurent. Varios teoremas fundamentales.

Excursiones

Durante el curso, haremos varias excursiones para conocer algo de teorías y estructuras matemáticas, intrínsecamente relacionadas con los números complejos (estas excursiones no son parte "formal" del curso--no tienen que ver con la evaluación). En particular, conoceremos a los hermanos mayores de los números complejos: Cuaterniones y Octoniones, que aritmetizan el espacio 4-dimensional y 8-dimensional respetivamente. Veremos también, como geometrias eliptica e hiperbólica naturalmente surgen dentro de la teoría.

Entrelazado con todo esto, nos acampañaran varias interesantes obras de arte, relacionadas con la Variable Compleja. En particular, veremos las creaciones de Remedios Varo, M. C. Escher, Helaman Ferguson y Pablo Picasso.

También, si el tiempo nos permite, haremos una breve excursion a mundos de Fractales y de Geometría Cuántica.

Libros Interesantes

• Visual Complex Analisis, de Tristan Needham. Oxford University Press (1997).
• Visual Complex Functions, de Elias Wegert. Birkhauser (2012).