Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana I

“the curvature tensor of a Riemannian manifold is a little monster of (multi)linear algebra whose full geometric meaning remains obscure”

Mikhail Gromov

Página del curso:

https://mbsantiago.github.io/riemanniana1/

La geometría riemanniana es tanto el punto de reunión de muchas ideas y teorías matemáticas como el punto de partida y el lenguaje base de innumerables desarrollos posteriores, entre los que destacan la Relatividad General, teoría de Hodge, avances en la teoría de 4-Variedades y 3-Variedades (Conjetura de Poincaré). Es por esto que nos gustaría ofrecer un curso en el que exista un balance entre cubrir y asentar los conceptos fundamentales de la teoría, con entender a la teoría en el contexto más amplio de la matemática (y posiblemente otras ciencias).

Durante el curso trataremos de fomentar la participación activa de los alumnos mediante asignaciones de pequeños proyectos individuales que se pueden desarrollar a lo largo del semestre.

Al final del curso nos gustaría dar un amplio panorama a diversos temas que son los inicios de grandes ramas de investigación actualmente activas.

Organización del Curso

1. Motivación y conceptos básicos (1 mes)

   1. Motivación

      1. Curvatura

      2. Teorema Egregium de Gauss

      3. Dinámica

         1. Mecanica clásica

         2. Flujo geodésico y teoría ergódica

      4. Relatividad

      5. Geometría global

      6. Burbujas y superficies mínimas

      7. ¿Se puede escuchar la forma de un tambor?

   2. Variedades

   3. Espacios Tangentes

   4. Tensores

   5. Teoremas de sumersión, inmersión y función inversa

   6. Teorema de existencia y unicidad de EDO

   7. Formas diferenciales y el teorema de Stokes

2. Desarrollo de Conceptos Básicos (1 mes)

   1. Métrica

   2. Transporte paralelo y conexiones

   3. Geodésicas

   4. Mapeo exponencial

   5. Teorema de Hopf-Rinow

3. Curvatura (1 mes)

   1. Curvatura

   2. Campos de Jacobi

   3. Formula de segunda variación

   4. Subvariedades

   5. Curvatura constante

4. Introducción a tópicos adicionales (a escoger dependiendo del interés del grupo)

   1. Teoría de Morse (teorema del índice)

   2. Flujo geodésico y teoría ergódica

   3. Geometría semi-riemanniana y relatividad

   4. Grupos de Lie y espacios homogéneos

   5. Mecánica lagrangiana

   6. Geometría global

   7. Geometría de Kähler

   8. Superficies planas y singularidades cónicas

   9. Superficies mínimas y métodos variacionales.

Calificación

1. Tareas: (40 ejercicios en total, opcionales) Si se entregan 21 o más ejercicios correctamente resueltos se suma 1 punto extra sobre la calificación final. Se asignarán aproximadamente 2-3 ejercicios cada semana. Los ejercicios se pueden entregar para ser evaluados en cualquier momento antes del parcial, con la opción de corregir la entrega con la retroalimentación ofrecida por los profesores. La fecha final de entrega de los ejercicios del parcial correspondiente es el día del examen parcial. No hay prórrogas, salvo en casos extraordinarios.

2. Proyectos: (1 por parcial) Si se entrega se tiene derecho a examen “corto”. El proyecto del último parcial es obligatorio.

3. Exámenes: (1 por parcial). Si se entrega proyecto solo vale el 50% de la calificación parcial. Del otro modo vale el 100%. 4 parciales en total.

Reposiciones y Finales

1. Reposiciones (2): Proyectos pequeños.

2. Final: Examen.

La calificación final se calcula como el promedio de los cuatro parciales (con las reposiciones consideradas) o bien como la calificación del examen final. En caso de que se hagan reposiciones, la calificación de dicho parcial será la máxima obtenida.

Bibliografía

Bibliografía básica

• Do Carmo, Manfredo Perdigão, and J. Flaherty Francis. Riemannian geometry. Vol. 115. Boston: Birkhäuser, 1992.

• Lee, John M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. Vol. 176. Springer Science & Business Media, 2006.

Bibliografía adicional de Geometría Riemanniana

• Milnor, John. Morse Theory.(AM-51). Vol. 51. Princeton university press, 2016.

• Petersen, Peter. Riemannian geometry. Vol. 171. New York: Springer, 2006.

• O'neill, Barrett. Semi-Riemannian geometry with applications to relativity. Vol. 103. Academic press, 1983.

• Sternberg, Shlomo. Curvature in mathematics and physics. Courier Corporation, 2013.

• Spivak, Michael. Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish, 1981.

Bibliografía básica de topología diferencial

• Guillemin, Victor, and Alan Pollack. Differential topology. Vol. 370. American Mathematical Soc., 2010.

• Milnor, John Willard. Topology from the differentiable viewpoint. Princeton University Press, 1997.

• Bröcker, Theodor, and Klaus Jänich. Introduction to differential topology. Cambridge University Press, 1982.

• Lee, John M. "Smooth manifolds." Introduction to Smooth Manifolds. Springer New York, 2003. 1-29.

• Sternberg, Shlomo. Lectures on differential geometry. American Mathematical Soc., 1999.

Bibliografía extendida

• Berger, Marcel. A panoramic view of Riemannian geometry. Springer Science & Business Media, 2012.