Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Geometría Moderna II

La aparente solidez de la Geometría Euclidiana es, ciertamente, consecuencia de la relevancia de sus teoremas, pero también viene dada por la forma en la que Euclides estructuró los Elementos. En efecto, partiendo de una lista de afirmaciones generales sobre la igualdad (las llamadas nociones comunes), definiciones básicas (plano, punto, recta, ángulo, etc.) y de una breve relación de axiomas o postulados, Euclides procede a demostrar inductivamente una larga serie de proposiciones y teoremas.

A lo largo de la historia, se han pronunciado diversas críticas y observaciones a la Matemática Euclidiana, gran parte de ellas relacionadas al hecho de que los axiomas contenidos en los Elementos, junto con las nociones comunes, son insuficientes para generar todas las propiedades de las entidades que son objeto de dicha teoría.

Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos se plantean de manera implícita cuestiones tales como el movimiento y la torsión de figuras, ninguna de las cuales se incluye en los axiomas o nociones comunes. Otro ejemplo es en relación a la proposición 1 del Libro I. Aquí Euclides afirma la existencia de un punto que viene a ser la intersección de dos circunferencias; sin embargo, no hay nada que garantice la existencia de dicho punto, salvo la imagen que acompaña la demostración.

Respecto a las definiciones básicas, cabe mencionar que estas operan con conceptos que, a su vez, debieran ser igualmente definidos, tales como “frontera” o “longitud”. De hecho, hay muchas definiciones que no son utilizadas en la demostración de teorema alguno.

En general, Euclides no establece bajo qué condiciones se producen los cortes entre una recta y una circunferencia o entre dos circunferencias y, por tanto, los puntos generados así, se tornan “inválidos”. Esto es digno de mencionarse, ya que las demostraciones y construcciones euclidianas dependen, en general, de este tipo de cortes. A pesar de esto, se puede decir que el método teórico deductivo euclidiano es válido en la actualidad, no sólo para la Geometría, sino para la Matemática en general.

Uno de los esfuerzos más fructíferos para superar las deficiencias del proceder euclidiano, fue hecho por el matemático Alemán David Hilbert, siglos más tarde, con su propia axiomática de la geometría, mucho más rigurosa.

La axiomática de Hilbert consiste de veintiún axiomas geométricos, para tres sistemas de objetos indefinidos (puntos, rectas y planos). Asimismo, los axiomas están clasificados en cinco grupos:

• Axiomas de incidencia.

• Axiomas de orden.

• Axiomas de congruencia.

• Axiomas de paralelismo.

• Axiomas de continuidad.

Este curso abordará principalmente el grupo de los axiomas de orden. La geometría que de esta axiomática se desprende es tan rica y basta, que en ella cabe desarrollar una teoría de la continuidad (la cual es indispensable para resolver la problemática de los puntos de corte antes mencionada) y una teoría de las paralelas. La idea esencial en esta geometría “ordenada” es la de mediación, que Euclides emplea en su definición de recta:

Una recta (un segmento de) es aquella línea que queda uniformemente entre sus extremos.

Esto sugiere la posibilidad de considerar la mediación como un concepto primitivo, de manera que, por ejemplo, se pueda definir un segmento de recta como el conjunto de todos los puntos entre dos puntos dados de antemano. Y con la misma idea, extender el segmento hasta una recta infinita.

Concluida esta parte del curso, se presentará a continuación (esperando que el tiempo lo permita) un ejemplo muy interesante de una geometría no ordenada: la Geometría Proyectiva. Entre otras cosas, en esta geometría no hay paralelismo (lo cual no significa que sea menos rica que una geometría ordenada, por ejemplo). Desde luego, se abordará la dualidad y el teorema de Desargues.

Sugerencia de evaluación.

Exámenes: 70%.

Tareas: 40% (Así es, hay un conveniente 110%).

Bibliografía.

Fundamentos de Geometría. H.S.M. Coxeter. Limusa Wiley.

Geometría Superior. N.V. Efímov. Editorial Mir.

Sigma. El mundo de las matemáticas. Artículo: Una Ciencia Matemática Tomo 5. James R. Newman. Ediciones Grijalbo.

El curso será accesible y los requisitos previos son los conocimientos básicos de Geometría Moderna I y Geometría Analítica I.