Profesor | Carlos Prieto de Castro | lu mi vi | 11 a 12 |
Ayudante | Macarena Covadonga Robles Arenas | ma ju | 11 a 12 |
Haces Vectoriales y Teoría K
El objetivo del curso es estudiar los haces vectoriales para, con ellos, construir la teoría K de un espacio compacto de Hausdorff. Extenderemos la definición a espacios paracompactos. Usando potencias exteriores, definiremos las operaciones de Adams en teoría K y las utilizaremos para resolver el problema del invariante de Hopf. Éste nos permitirá estudiar estructuras multiplicativas en R^n, como las que conocemos para n = 1 (numeros reales), n = 2 (números complejos), n = 4 (cuaterniones), n = 8 (octoniones), así como las estructuras multiplicativas en las esferas S^{n-1}, como las que conocemos para n = 1 (Z/2Z), n = 2 (el grupo del círculo), n = 4 (S^3 = SO(2) = matrices ortogonales de 2 x 2 y determinante = 1). Veremos exactamente qué valores de n son admisibles.
TEMARIO:
1. Haces vectoriales
1.1 Definiciones básicas
1.2 Variedades de Grassmann y haces universales
1.3 Clasificación de haces de tipo finito
1.4 Clasificación de haces con base paracompacta
2. Teoría K
2.1 Construcción de Grothendieck
2.2 Definición de K(X)
2.3 Equivalencia estable de haces
2.4 Periodicidad de Bott
3. Operaciones de Adams
3.1 Definición y principio de descomposición
3.2 Álgebras normadas
3.3 Álgebras de división
3.4 Estructuras multiplicativas en R^n y en S^{n-1}
3.5 El invariante de Hopf
3.6 Prueba del resultado principal (Para qué valores de n, tiene R^n estructura de álgebra de división sobre R; resp. S^{n-1} estructura multiplicativa que la hace H-espacio).
Bibliografía
1. Aguilar, M; Gitler, S; Prieto, C. Algebraic topology from a homotopical viewpoint, Universitexts, Springer Verlag 2002
2. Atiyah, M. K-Theory, Advanced Book Classics, Addison Wesley 1996
3. Husemöller, D. Fibre Bundles, Third Edition, GTM, Springer Verlag 1994