Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Geometría analítica no euclideana

Cuando Albert Einstein se decidió a edificar la descripción matemática de la Teoría General de la Relatividad descubrió rápidamente que la geometría usual (aquella en la que para cada punto exterior a una línea recta existe exactamente una paralela a ésta que pasa por dicho punto) no le sería útil en esta empresa. Peor aún, él desconocía que la geometría que necesitaba para su proyecto era una que Carl Friedrich Gauß y Bernhard Riemann ya habían desarrollado extensamente: la geometría elíptica. Algunas particularidades de ésta son: cualesquiera dos líneas rectas se intersectan y la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo excede 180^o.

Afortunadamente el físico alemán tenía amistad con el matemático Marcel Grossmann, un experto en geometría diferencial y cálculo tensorial. De este modo, entre 1912 y 1914, se desarrolló entre ellos una colaboración científica cuyo fruto principal fueron los cimientos de la Teoría General de la Relatividad.

El propósito del seminario que estamos ofreciendo es servir como introducción al estudio analítico de las geometrías no euclideanas. De manera específica, la elíptica (mencionada arriba), la proyectiva y la hiperbólica.

Conviene mencionar que en nuestra facultad se ofrecen cursos en donde las dos últimas geometrías mencionadas en el párrafo previo son estudiadas ampliamente desde el punto de vista axiomático, esto es, de modo similar a lo que se hace en los cursos de Geometría Moderna. En contraste, nuestro seminario se enfocará en el aspecto analítico, es decir, emplearemos herramientas del álgebra lineal y de la geometría analítica para estudiar las propiedades de estas geometrías.

Para ilustrar las ventajas de este enfoque: cuando los griegos introdujeron la geometría axiomática ésta fue estudiada ampliamente por varias generaciones de matemáticos en el mundo, pero fueron los trabajos de Descartes y Fermat los que dotaron a ésta de un aspecto analítico (la aparición de coordenadas, el uso de expresiones algebraicas para describir lugares geométricos, etcétera), mismo que llevaría, a la postre, a la fundamentación del cálculo. Por esta razón creemos que el presente seminario puede ser de interés para físicos y matemáticos.

Cualquier estudiante que haya cursado ambas geometrías analíticas y Álgebra Lineal 1 dispone de los requisitos necesarios para entender todo el material que se expondrá en el seminario.

Temario

1. Geometría elíptica
   1. Incidencia
   2. Distancia entre puntos
   3. Ecuación paramétrica de una recta
   4. Ortogonalidad
   5. El Teorema de Euler
   6. Trigonometría esférica
   7. Teoremas de congruencia
2. Geometría proyectiva
   1. Incidencia
   2. Distancia entre puntos
   3. Movimientos
   4. El Teorema Fundamental de la Geometría Proyectiva
   5. Polaridades
3. Geometría hiperbólica
   1. Incidencia
   2. Distancia entre puntos
   3. Trángulos y trigonometría hiperbólica
   4. Triángulos asintóticos
   5. Cuadriláteros

Bibliografía

1. S. H. Friedberg, A. J. Insel y L. E. Spence, Linear algebra, Pearson Education International, 4ta edici�n, 2003.
2. J. Gómez Urgellés, Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclídeas, National Geographic, colección El mundo es matemático, 2017.
3. M. J. Greenberg, Euclidean and non-euclidean geometries. Development and history, W. H. Freeman and Company, 3ra edición, 1994.
4. P. J. Ryan, Euclidean and non-euclidean geometry. An analytic approach, Cambridge University Press, 1ra edición, 1986.