Física (plan 2002) 2018-1

Optativas, Topología y Geometría Diferencial para Físicos

Topología y geometría diferencial para físicos

I. Fundamentos matemáticos

1. Variedades diferenciales

• Variedades

• Cálculo en variedades

• Flujos y derivadas de Lie

• Formas diferenciales

• Integración de formas diferenciales

2. Geometría de superficies en R³

• Primera y segunda formas fundamentales

• Curvatura Gaussiana y curvatura promedio

• Geodésicas

• Desplazamiento paralelo de Levi-Civita

3. La teoría de grupos como el estudio de la simetría

• Definiciones básicas de grupos

• Representaciones de grupos

• Introducción a grupos y álgebras de Lie

4. Haces fibrados y conexiones*

• Haces generales

• Haces vectoriales

• Conexiones y Holonomía

• 2-forma de curvatura

II. Aplicaciones físicas

1. Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana en el contexto de la geometría diferencial

• Dinámica Lagrangiana

• Dinámica Hamiltoniana

2. Formulación geométrica de Mecánica Cuántica (“una probadita”)

3. Electromagnetismo en el contexto de la geometría diferencial

• El potencial escalar y vectorial como 1-forma

• El tensor de Maxwell-Faraday

• Las ecuaciones de Maxwell

4. La relatividad general en el contexto de la geometría diferencial

• Uno-formas con componentes endomórficos

• La conexión de Levi-Civita y los símbolos de Christoffel

• El tensor de Riemann

• Las ecuaciones de Einstein y las identidades de Bianchi

5. Aplicaciones modernas*

• Grafeno y la ecuación de Dirac

• Fases topológicas de la materia

Los temas marcados con * se discutirán en la medida que el tiempo lo permita.

Textos principales

• Geometry, Topology and Physics, M. Nakahara, Institute of Physics Publishing.

• The geometry of Physics, T. Frankel, Cambridge University Press.

Textos complementarios

• Topology and geometry for physicists, C. Nash and S. Sen, Dover Publications Inc.

• Modern differential geometry for physicists, C. Isham, World Scientific.

• Group theory in physics, W. K. Tung, World Scientific.

• LIE GROUPS, PHYSICS, AND GEOMETRY, An Introduction for Physicists, Engineers

and Chemists, R. Gilmore, Cambridge University Press.