Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Teoría de los Conjuntos III

Los primeros dos cursos de la materia Teoría de Conjuntos comprehenden el material técnico recomendado para que un estudiante avanzado maneje de manera fluida conceptos y métodos conjuntistas (tales como recursión transfinita o productos cartesianos arbitrarios) presentes en la rama de las matemáticas de su interés. Sin embargo, la teoría de conjuntos como área constituida tiene muchísimo por ofrecer no sólo al alumno interesado en ella. Curiosamente, Teoría de Conjuntos 3 no es sino un panorama de los problemas de la teoría de conjuntos clásica y sirve como motivación para adentrarse en lo que para algunos es la "nueva" teoría de conjuntos, revolucionada por el método de Forcing introducido por Paul Cohen.

Desde su nacimiento, la teoría de conjuntos tiene una profunda relación con otras áreas de las matemáticas, basta recordar que Cantor se encontraba estudiando series de Fourier cuando los métodos de la época le resultaron insuficientes. De esa misma manera, numerosos problemas clásicos propios de teoría de conjuntos como la Hipótesis del Continuo o los árboles de Suslin tienen su origen en el estudio de la recta real y su estudio llevó al desarrollo y fortalecimiento de esta área.

En este curso abordaremos desde su motivación los problemas clásicos de teoría de conjuntos y que ahora se denominan como combinatoria infinita. Es aquí donde aparecen los antes mencionados, la Hipóstasis del Continuo y la Hipótesis de Suslin, junto con los problemas que estos derivaron, como los invariantes cardinales, el Axioma de Martin y el Diamante de Jensen entre otros. Estudiaremos como se relacionan entre ellos y su impacto en el universo de la teoría de conjuntos. El resto del curso se ocupa del estudio de los Grandes Cardinales, los cardinales inaccesibles que el estudiante conoce del curso de Teoría de Conjuntos 2, donde revisaremos su origen y las grandes repercusiones que su existencia podría tener no sólo en la misma teoría de conjuntos sino en topología, álgebra, lógica o análisis.

El curso intenta cubrir en su totalidad el temario sugerido por la facultad e incorporará temas adecuados al gusto de los alumnos que se inscriban a él. Aseguramos entonces que será de gran interés para quien se sienta atraído por conocer el universo de la teoría de conjuntos, y por consecuencia el universo en donde se encuentra inmerso (casi) en su totalidad el universo de las matemáticas, o que quiera introducirse en el mundo de las pruebas de consistencia y el método de Forcing.

La evaluación será mediante exámenes, tareas (que servirán en gran medida para que el alumno se prepare para los exámenes) y una exposición al final del curso.