Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Motivado por problemas interdisciplinarios que juntan matemática y neurociencia, este curso introduce métodos matemáticos avanzados de tipo algebraico y geométrico para el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.

Los sistemas neuronales y sus modelos exhiben una paradoja: son parametrizados por un número muy grandes de parámetros biofísicos (decenas) pero muestran un número muy limitado de comportamientos no lineales cualitativamente distintos (<5). Ello nos lleva a plantear preguntas matemáticas de fundamental importancia para la neurociencia: ¿es posible predecir los conjuntos de parámetros en los cuáles el comportamiento de una neurona no cambia, y de ser así, cómo podría hacerse? Y viceversa: ¿es posible predecir la dirección en que se debe mover el vector de parámetros neuronales para observar un cambio deseado en el comportamiento observado?

La importancia de estas preguntas va más allá que la neurociencia básica puesto que responderlas puede ayudar en el diseño de terapias para atender diversas enfermedades neuronales.

Motivado por estas preguntas, en el desarrollo del curso se abordará el estudio de bifurcaciones por la teoría de singularidades, que permite un análisis constructivo (es decir, no numérico) de los problemas de bifurcación. La teoría será desarrollada de forma general y detallada.

Así mismo, se estudiará la teoría geométrica de perturbaciones singulares, ya que permite descomponer un sistema de ecuaciones diferenciales en distintas escalas características y conjuntar de manera rigurosa el análisis desarrollado en los modelos reducidos en las distintas escalas.

En la parte final del curso se aplicará esta herramienta teórica al estudio de sistemas neuronales.

Evalución: 3 tareas (30%), participación en clase (20%), examen oral (50%) .

Los temas del curso pueden sentar las bases para tesis de licenciatura.

Temario del curso

- Preliminares: campos vectoriales y bifurcaciones en dimensión 1 y 2 (basado en [1]).

- Singularidades en los problemas de bifurcación (basado en [2]).

- Teoría geométrica de perturbaciones singulares (basado en [3]).

- Aplicación a sistemas neuronales: motivación (basada en [4,5]) y epilogo (basado en [6,7]).

Bibliografía

[1] Strogatz, S. H. 2014. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. Westview press.

[2] Golubitsky, M., & Schaeffer, D. G. 1985. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer. Appl. Math. Sci, 51.

[3] C. Jones, Geometric singular perturbation theory, in Dynamical systems. Springer Lecture Notes in Math. 1609, Berlin, 1995, Springer, pp. 44–120.

[4] Goldman, M. S., Golowasch, J., Marder, E., & Abbott, L. F. 2001. Global structure, robustness, and modulation of neuronal models. The Journal of Neuroscience, 21(14), 5229–5238.

[5] Marder, Eve, O’Leary, Timothy, & Shruti, Sonal. 2014. Neuromodulation of Circuits with Variable Parameters: Single Neurons and Small Circuits Reveal Principles of State-Dependent and Robust Neuromodulation. Annual Review of Neuroscience, 37, 329–347.

[6] Franci, A., Drion, G., & Sepulchre, R. 2014. Modeling the modulation of neuronal bursting: a

singularity theory approach. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 13(2), 798–829.

[7] Drion, G., Franci, A., Dethier, J., & Sepulchre, R. 2015. Dynamic Input Conductances Shape Neuronal Spiking. eneuro, 2(1).