Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

El curso estará dividido en tres partes. En la primera revisaremos aspectos fundamentales de la teoría de curvas. Nos detendremos en algunos problemas sobre curvatura y condiciones de contacto. Definiremos cuidadosamente la envolvente y la evoluta de una curva suave y estudiaremos algunas aplicaciones a la física clásica.

En una segunda parte haremos un resumen sucinto de la teoria local de superficies diferenciables en Rn. Daremos una definición preliminar de superficie, plano tangente y curvaturas gaussiana y media. Estudiaremos con cuidado la clasificación de superficies orientables compactas en R3. Nos detendremos en los teoremas de Gauss-Bonnet y Egregio de Gauss. Veremos multiples ejemplos y algunas aplicaciones a la física y a la biología.

En una tercera parte daremos una breve introducción al estudio de variedades diferenciables. El objetivo de esta última parte será acercar al alumno a las versiones mas generales de lo visto en las primeras partes, con algunas aplicaciones.

Bibliografía básica

• Michael Spivak A comprehensive course on Diferential Geometry Vol 1-2. Publish or Perish
• Vladimir G. Ivancevic , Tijana T. Ivancevic . Applied Differential Geometry: A Modern Introduction . World Scientific
• Francis Borceux. A differential Approach to Geometry. Springer.
• Manfredo P. DoCarmo Differential Geometry of Curves and Surfaces in R3. Prentice-Hall
• Oscar Palmas y J. Guadalupe Reyes Curso básico de Geometría Diferencial T1. Las Prensas de Ciencias
• B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov Modern Geometry- Methods and Applications. Springer.
• Hilbert & Conn-Vossen Geometry and the Imagination
• A. S. Fedenko Problemas de Geometría Diferencial. IPN

Se realizarán 4 o 5 examenes parciales, cada uno con una lista de ejercicios correspondiente que servira en principio como guía para el examen.

Podrán encontrarse las tareas y algunos materiales de apoyo en la página del curso:

https://sites.google.com/a/ciencias.unam.mx/gd1/