Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

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En el curso Análisis Matemático I generalizamos y profundizamos las nociones presentadas en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral. Introducimos espacios métricos como el ejemplo más útil de espacios topológicos para las metas del análisis matemático. Ellos aparecen como subconjuntos de los espacios Rⁿ y en la forma de espacios normados (una clase de espacios vectoriales topológicos) de series y funciones, de los cuales revisamos varios ejemplos relevantes. Toda la teoría avanzada de ecuaciones diferenciales e integrales, el análisis armónico y mucho de la teoría de la medida está basada en estos conceptos.

Después de tratar con profundidad las nociones de continuidad, compacidad y completitud, mostramos algunos de los teoremas fundamentales del análisis: el teorema de punto fijo de Banach, el teorema de Arzelá-Ascoli y el teorema de aproximación de Weierstrass.

Introducimos de nuevo el concepto de diferenciabilidad, pero en mayor generalidad, permitiendo mapeos entre espacios de Banach (espacios normados completos) de dimensión infinita. Desarrollamos las técnicas de diferenciación y mostramos el teorema de la función implícita. Así presentamos algunos fundamentos del análisis no lineal, es decir, la aplicación del análisis matemático a ecuaciones diferenciales e integrales no lineales.

Contenido

Espacios métricos

Definición y ejemplos, espacios normados, espacios de funciones, el espacio de funciones acotadas, subespacios métricos e isometrías

Continuidad

Definiciones y ejemplos, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados, convergencia de sucesiones

Compacidad

Conjuntos compactos, el teorema de Heine-Borel, existencia de máximos y mínimos, semicontinuidad, continuidad uniforme

Completitud

Espacios métricos completos, convergencia uniforme, espacios completos de funciones, series en espacios de Banach

El teorema de punto fijo de Banach y aplicaciones

El teorema de punto fijo de Banach, sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones integrales, la ecuación integral de Fredholm del segundo tipo, la ecuación integral de Volterra del segundo tipo, el problema de Cauchy

Compacidad en espacios de funciones

Conjuntos totalmente acotados, el teorema de Arzelà-Ascoli, el problema de Cauchy, existencia de trayectorias de longitud mínima

Teoremas de aproximación

El teorema de aproximación de Weierstrass, el teorema de Stone-Weierstrass

Diferenciabilidad

El espacio de funciones lineales y continuas, diferenciabilidad, el teorema del valor medio, un criterio de diferenciabilidad, derivadas parciales, derivadas de orden superior, la fórmula de Taylor

El teorema de la función implícita

El teorema de la función implícita, extremos locales de funciones diferenciables con restricciones, homeomorfismos lineales, demostración del teorema de la función implícita, dependencia de las condiciones iniciales en el problema de Cauchy

Referencias

[1]

M. Clapp, Análisis matemático, Instituto de Matemáticas, UNAM, 2015.