Matemáticas (plan 1983) 2018-1

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

AVISOS:

• Ya está la tarea examen en la página del curso.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III, Grupo 4150

Profesor: Mat. Sergio Iker Martínez

iker@matem.unam.mx

Lunes a Viernes 17:00 hrs a 18:00 hrs. Sábado 7:00 hrs a 8:00 hrs. Salón: O123

Ayudante: Mat. Andrés Ahumada

andres.19@ciencias.unam.mx

Lunes, Miércoles y Viernes 18:00 hrs a 19:00 hrs. Salón: O123

PÁGINA DEL CURSO:

iker.com.mx/cálculo-iii

INTRODUCCIÓN:

El curso de Cálculo Diferencial e Integral III es una herramienta esencial para varias disciplinas dentro de matemáticas, física, biología, optimización y muchas aplicaciones por ésto es un curso de suma importancia para cualquier científico.

Esencialmente el objetivo principal es extender las nociones del Cálculo Diferencial de funciones de la recta R en sí misma a mapeos diferenciables de Rⁿ en R^m y ver las algunas de las aplicaciones y resultados entorno a éstas. Para esto comenzaremos estudiando la Topología (estándar) del espacio Euclidiano Rⁿ , con ésto, entre otras cosas podremos definir continuidad de funciones de Rⁿ en R^m . Luego la estrategia será definir la derivada para curvas en Rⁿ, funciones de Rⁿ y finalmente para mapeos de Rⁿ en R^m . Los resultados centrales en estas partes son:

• La Desigualdad del Valor Medio,
• La Regla de la Cadena de Varias Variables
• El Teorema de la Formula de Taylor en Varias Variables
• El Teorema de la Función Inversa y el de la Función Implícita
• Multiplicadores de Lagrange

Finalmente veremos una breve introducción a las Subvariedades Diferenciables de Rⁿ, éstos objetos son espacios donde tiene sentido definir la derivada de funciones entre ellos y que generalizan el caso de los espacios Euclidianos. Éstos espacios son sumamente relevantes en matemáticas y física, en particular a nosotros nos servirá para poder resolver problemas de optimización vía multiplicadores de Lagrange.

✔:= Tema visto en clase.

TEMARIO

1. Topología de Rⁿ ✔

• Rⁿ como espacio vectorial ✔

• Producto interno y norma ✔

• Bolas y conjuntos acotados ✔

• Sucesiones en Rⁿ ✔

• Puntos de acumulación ✔

• Aplicaciones continuas ✔

• Homeomorfismos ✔

• Límites ✔

• Conjuntos abiertos, cerrados y compactos ✔

• Conexidad ✔

2. Curvas Diferenciables en Rⁿ ✔

• Caminos diferenciables ✔

• La integral de un camino ✔

• Teoremas clásicos del cálculo ✔

• Caminos rectificables ✔

• Longitud de arco ✔

3. Funciones Diferenciables de Rⁿ ✔

• Derivadas parciales ✔

• Derivadas direccionales ✔

• Funciones diferenciables ✔

• La diferencial de una función ✔

• El gradiente de una función ✔

• La regla de Leibniz ✔

• El teorema de Schwarz ✔

• La fórmula de Taylor para funciones ✔

• Puntos críticos ✔

• Multiplicadores de Lagrange ✔

4. Aplicaciones Diferenciables de Rⁿ en R^m ✔

• Diferenciabilidad de un aplicación ✔

• Ejemplos de aplicaciones diferenciables ✔

• La regla de la cadena ✔

• El teorema de la serie de Taylor ✔

• Desigualdad del valor medio ✔

• El teorema de la aplicación inversa y el teorema de la aplicación implícita ✔

5. Tópicos de Cálculo III

• Subvariedades Diferenciables de Rⁿ ✔

EVALUACIÓN:

Cada tema se evaluará con una tarea y un examen. El promedio de las calificaciones obtenidas en todos los temas conformará la calificación final conforme a los siguientes porcentajes:

Exámenes: 90%: Cada examen tendrá un problema opcional que contará como extra.

Tareas: 10%: 3/4 de los problemas de los exámenes serán problemas de la tarea.

De manera opcional, al finalizar el curso habrá un examen el cual cubrirá el contenido de todos los temas. En caso de decidir presentar éste examen la calificación obtenida será la correspondiente a la del curso.

Las participaciones durante las clases y ayudantías serán tomadas en cuenta como puntos extra en la evaluación de cada tema.

BIBLIOGRAFÍA

• Courant, R., John, F., Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Vol. II, México: Limusa, 1974.

• Spivak, M., Cálculo en Variedades. México: Ed. Reverté, 1987.

• Langes Lima E., Curso de Análise Vol. 2, 11 ed. Projeto Euclides IMPA, 2012.

• Lang S., Calculus of Several Variables, 3^rd ed. Springer, 1987.