Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de la Medida I

La primera parte del curso estará dedicada a la construcción de la integral de Lebesgue, posteriormente aplicaremos la teoría desarrollada en la primera parte a la teoría de básica de la probabilidad.

TEMARIO.

1. Sigma álgebras

-Lema de las clases monótonas.

2. Funciones medibles

- Aproximación de funciones medibles.

- La recta real extendida.

- Funciones medibles con valores complejos.

3. Medidas sobre sigma álgebras.

- Espacios de medida.

4. Integral de funciones medibles no negativas.

- Teorema de la convergencia Monótona.

- Lema de Fatou.

- Comparación con la integral de Riemann.

5. El espacio de las funciones integrables

- Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue.

- Funciones integrables con valores complejos.

6. Los espacios clásicos de Banach.

7. Medidas exteriores.

- Teorema de extensión de Carathéodory-Hopf.

- Medida de Lebesgue en R

- Medida de Lebesgue-Stieltjes.

8. Teoremas: de Riez-Weyl, de Egorov, de Radon- Nikodým.

9. Medidas con signo, medidas producto.

10. Probabilidad: Variables aleatorias, medidas de probabilidad, propiedades de una medida de probabilidad, Eventos independientes, Medida de probabilidad inducida por una variable aleatoria, Funciones de Distribución, Esperanza, Variables aleatorias independientes, Teorema de Fubini. convergencia débil, Interpretación de la densidad de probabilidad como derivada de Radon- Nikodým.

Evaluaremos el curso por medio de exámenes y tareas