Actuaría (plan 2006) 2017-2

Optativas, Temas Selectos de Análisis Numérico

Introducción a la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales

Las ecuaciones diferenciales son el fundamento sobre el cual muchos modelos matemáticos son construidos. Estas ecuaciones raramente se pueden resolver en forma cerrada; de hecho, la solución exacta dificilmente puede ser caracterizada por medio de una fórmula matemática explícita que sea sencilla de calcular. Casi invariablemente, uno tiene que recurrir a métodos numéricos apropiados, cuyo objetivo es la aproximación o discretización del modelo diferencial exacto y así de la solución exacta.

El objetivo del curso es presentar, de manera introductoria, los métodos de diferenciias finitas y elementos finitos que representan a las técnicas numéricas más estudiadas para resolver ecuaciones diferenciales parciales numéricamente.

No se requiere haber cursado análisis numérico I

Pero si estár cursando o haber cursado ecuaciones diferenciales parciales.

Temario

1. Introducción

1.1. Ejemplos de modelos en ecuaciones diferenciales parciales

1.2. Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales.

1.3. Diferentes métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales.

Métodos de diferencias finitas

2. Métodos de diferencias finitas para ecuaciones parabólicas

2.1. Métodos explícitos.

2.2. Métodos implicitos.

2.3. Teorema de equivalencia de lax.

2.4. Ecuaciones parabólicas en coordenadas polares.

3. Ecuaciones elípticas

3.1. Ecuacón de Laplace en un cuadrado.

3.2. Diferentes condiciones de frontera.

3.3. Elementos de álgebra lineal numérica.

3.3.1. Métodos iterativos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

3.3.2. Método de gradiente conjugado y de descenso más pronunciado.

3.4. La ecuación biarmónica.

3.5. La ecuación de Laplace en diferentes sistemas de coordenadas.

4. Ecuaciones hiperbólicas.

4.1. Ecuaciones hiperbólicas de primer orden.

4.2. Ecuaciones hiperbólicas de segundo orden

4.3. Condición de Courant-Friedrichs-Lewy.

4.4. Disipación y dispersión.

Método de elementos finitos

5. Problemas elípticos

5.1. Problemas de valor en la frontera de dos puntos.

5.2. El método de Galerkin con diferentes funciones de prueba y de peso.

5.3. Elementos finitos en dos dimensiones.

5.4. Problemas nolineales.

Bibligrafía

1. Computational partial differential equations using MATLAB , Jichun Li, Yi-Tung Cheng, CRC, 2008.

2. Numerical models for differentials problems, Alfio Quarteroni, Springer Verlag, 2013.

Durante el curso se irá presentando los elementos de programación necesarios en MATLAB que es un programa muy amigable