Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Teoría de los Números II

Introducción.

En este curso nos interesará probar, entre otros, los teoremas siguientes:

Para cualesquiera enteros positivos, y , existe una constante tal que si y , , ..., satisfacen , entonces de los números , , ..., forman una progresión aritmética (teorema de van der Waerden).

Si y son primos relativos, entonces en la progresión aritmética , + , + 2,..., + n ,...; hay una infinidad de números primos (teorema de Dirichlet).

El primero de ellos da lugar al desarrollo de lo conoce como Teoría de Ramsey, una de las ramas más apasionantes de la matemática discreta; mientras que el segundo, hace uso de la variable continua y de los desarrollos propios del cálculo en su demostración. A esto se le ha denominado teoría analítica de los números. Nos interesará en este curso contrastar ambos desarrollos y la metodología propia de cada uno de ellos.

El curso es, esencialmente, autocontenido: se requieren los resultados de teoría de números propios del curso de Álgebra Superior 2.

Bibliografía.

Durante el curso elaboraré notas que se subirán a una carpeta de Dropbox, donde los estudiantes podrán consultarlas previo a la sesión correspondiente. La bibliografía complementaria se dará el primer día de clase.

Evaluación.

No habrá exámenes. Se calificará con las notas que, a lo largo del semestre, deberán efectuar los alumnos complementando los detalles de las pruebas, lecturas históricas para poner a la teoría en contexto, y los ejercicios que se dejen en clase. Queremos sobre todas las cosas transmitir el gusto, la belleza y la profundidad de estos resultados a la comunidad estudiantil de la Facultad.