Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Fundamentos matemáticos y biofísicos de neurofisiología

Horario

Martes y Jueves, 9-11, Miércoles 9-10

Resumen

Este es un curso interdisciplinario dirigido a estudiantes de matemáticas, ciencias biológicas, ciencias físicas, o ramas afines del conocimiento. El objetivo principal del curso es proporcionar fundamentos matemáticos y biofísicos sólidos para el estudio de la neurofisiología. Al final del curso los estudiantes podrán explicar, usando principios biofísicos fundamentales y argumentos matemáticos, cómo se produce y se transmite la actividad eléctrica en neuronas, cómo un grupo de neuronas conectadas sinápticamente puede transmitir mensajes distintos dependiendo del contexto en el que se encuentran y los mecanismos biofísicos le permiten a una neurona responder, o dejar de hacerlo, cuando recibe comunicación sináptica de otras neuronas. El curso involucra un régimen intenso de lectura, escritura, y trabajo tanto analítico como computacional. Algunas de las ramas de las matemáticas involucradas serán dinámica no-lineal, técnicas de análisis geométrico, teoría de bifurcaciones, simulación determinista y estocástica con ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales) y teoría de grafos. Los estudiantes leerán y discutirán artículos de investigación además de los textos proporcionados para la clase. Otra componente importante es que los estudiantes elaborarán documentos en LaTeX que contengan reportes de investigación, tareas, o discusiones.

El curso se puede extender a dos semestres. Una de las componentes de interés durante la segunda parte es la introducción práctica a los sistemas dinámicos no autónomos, deterministas y aleatorios, mediante el estudio de sistemas dinámicos excitables que modelan el potencial transmembranal en neuronas. Se pondrá énfasis en la relación entre la estructura de bifurcación en familias de sistemas dinámicos autónomos y resultados obtenidos tomando en cuenta versiones no-autónomas de dichos sistemas. Otro tema de interés para el segundo semestre es el estudio de la dinámica y análisis topológico de datos en microcircuitos para el cual se combinan principios de teoría de gráficas y redes con análisis geométrico en sistemas dinámicos.

Prerequisitos. Es deseable que los estudiantes interesados hayan tomado un curso de ecuaciones diferenciales, un curso de probabilidad y/o procesos estocásticos, y algún fundamento de programación. Lo anterior puede ser aprendido durante el curso, pero resultaría en un esfuerzo extra por parte de los estudiantes. También es deseable cualquier conocimiento básico de biología celular o fisiología.

Temario general

Fundamentos y herramientas cuantitativas para entender distintos procesos de interés en neurofisiología a nivel molecular, celular, y de sistemas serán discutidos en clase.

Primer semestre

1. Movimiento iónico y transporte: Difusión, deriva, permeabilidad, ecuaciones de Nernst-Planck.

2. Propiedades eléctricas de membranas excitables: Modelo termodinámico de corrientes y potencial transmembranal. Aproximaciones al modelo termodinámico: ecuaciones de Hodgkin & Huxley, sistema de Fitz-Hugh.

3. Canales iónicos. Diversidad funcional, modelo de Hodgkin & Huxley, modelos deterministas.

4. Estocasticidad en la función en canales iónicos: Análisis de función en canales aislados, aspectos geométricos de la distribución de canales, formulación estocástica de mecanismos de apertura.

5. Plasticidad sináptica. Modelos simples de plasticidad a corto plazo (EDOs).

6. Transmisión eléctrica en dendritas: Ecuaciones de cable lineales y extensiones no lineales, geometrías de comparti- miento y elementos de área. Integración en dendritas.

7. Análisis cualitativo de sistemas dinámicos que modelan excitabilidad celular. Minimalidad dimensional, bifurcaciones, conexiones entre la estructura de bifurcación y patrones de expresión de canales.

8. Ráfagas y adaptación de frecuencia de disparo. Minimalidad dimensional, distintas alternativas para producir ráfagas y adaptación de disparo en modelos minimales.

Segundo semestre

1. Procesos estocásticos que modelan trenes de espigas. Teoría detrás de los correlogramas, covariogramas, e interpretación.

2. Teoría de información.

3. Potencial de campo local e inervación sináptica como determinantes de la excitabilidad: Procesos Ornstein-Uhlenbeck. Influencia de la dinámica local de puntos fijos en la generación de disparos y en los patrones de conexión funcional entre neuronas.

4. Conexión entre la distribución de intervalos inter espiga y la biofísica detrás de los potenciales de acción.

5. Modelos matemáticos de alucinaciones. Transformaciones conformes.

6. Modelaje de redes a partir de procesos estocásticos. Relación entre anatomía y función. Redes basadas en conexiones sinápticas, redes basadas en conexiones funcionales. Patrones de correlación.

7. Redes biofísicas de neuronas. Influencia de la dinámica local de puntos fijos en los patrones de conexión funcional entre neuronas.

8. Variables aleatorias que describen características topológicas en gráficas. Gráficas aleatorias.

Bibliografía

Libros de texto

1. Foundations of Neurophysiology. Johnston & Wu, 1995.

2. Mathematical Neuroscience. Ermentrout & Terman, 2010.

3. Dynamical Systems in Neuroscience. Izhikevich, 2007. (2006) sobre excitabilidad en sistemas de regulación de transcripción.

4. Mathematical Physiology. James & Keener, 2009.

Sistemas dinámicos, grafos, probabilidad y procesos estocásticos:

1. Nonlinear dynamics and chaos. Strogatz, 2006.
2. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Guckenheimer & Holmes, 1993. 3. Nonautonomous dynamical systems. Kloeden & Rasmussen, 2007.
4. Random dynamical systems. Arnold, 1998.
5. Probability theory and examples. Durret, 2010.
6. Introduction to probability models. Ross, 2014.
7. Random graphs and complex networks. Van Der Hofstad, 2013.
8. Introduction to stochastic differential equations. Evans, 2003.

Articulos

1. Hodgkin, A. L., & Huxley, A. F. (1952). A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. The Journal of physiology, 117(4), 500.

2. FitzHugh,R.(1955).Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane.The Bulletin of Mathematical Biophysics, 17(4), 257-278.

3. Herrera-Valdez M.A. (2012) Membranes with the same complements of ion channels but different excitabilities. PLoS ONE, 7(4): e34636. DOI:10.1371/journal.pone.0034636. EISSN-1932-6203, doi:10.1371/journal.pone.0034636

4. Herrera-Valdez M.A. and Lega J. (2010) A reduced model for the pacemaker dynamics of cardiac cells. J. Theoretical Biology, Feb 7;270(1):164-76, ISSN: 0022-5193, doi:10.1016/j.jtbi.2010.09.042

5. Herrera-Valdez M.A., **McKiernan E.C., *Berger, S.D, Ryglewski S., Duch C., Crook S. (2013) Relating ion channel expression, bifurcation structure, and diverse firing patterns in a model of an identified motor neuron. Journal of Computational Neuroscience, 34(2): 211-229, ISSN: 1573-6873, doi: 10.1007/s10827-012-0416-6.

6. Rudolph, M., Pinkowska, Z., Badoual, M., Bal, T., & Destexhe, A. (2004). A method to estimate synaptic conductances from membrane potential fluctuations. Journal of neurophysiology, 91(6), 2884-2896.

7. Gillespie, D. T. (1977). Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions. The journal of physical chemistry, 81(25), 2340-2361.

8. Gillespie, D. T. (1996). The mathematics of Brownian motion and Johnson noise. American Journal of Physics, 64(3), 225-239.

9. Gillespie, D. T. (1996). Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral. Physical review E, 54(2), 2084.

10. Gillespie, D. T. (2000). A mathematical comparison of simple models of Johnson noise and shot noise. Journal of Physics: Condensed Matter, 12(18), 4195.

11. Rudolph, M., & Destexhe, A. (2001). Correlation detection and resonance in neural systems with distributed noise sources. Physical Review Letters, 86(16), 3662.

12. Rudolph, M., & Destexhe, A. (2005). An extended analytic expression for the membrane potential distribution of conductance-based synaptic noise. Neural Computation, 17(11), 2301-2315.

13. Destexhe, A., Mainen, Z. F., & Sejnowski, T. J. (1998). Kinetic models of synaptic transmission. Methods in neuronal modeling, 2, 1-25.

14. Barroso-Flores Janet, Herrera-Valdez Marco Arieli, Lopez-Huerta Violeta Gisselle, Galarraga Elvira, Bargas José, (2015). Diverse short-term dynamics of inhibitory synapses converging on striatal projection neurons: differential changes in a rodent model of Parkinson’s disease. Neural Plasticity, "Plasticity of the GABAergic System in Physiology and Disease", Hindawi, 2015. doi: 10.1155/2015/573543

15. Rall, W. (1959). Branching dendritic trees and motoneuron membrane resistivity. Experimental neurology, 1(5), 491-527.

16. Herrera-Valdez M.A., Suslov S.K., *Vega-Guzman J. (2014) A Graphical Approach to a Model of a Neuronal Tree with a

    Variable Diameter. Mathematics, 2(3):119-135, ISSN: 2227-7390, doi: 10.3390/math2030119

17. Strube-Bloss M.F., Herrera-Valdez M.A., Smith B.H. (2012) Ensemble Response in Mushroom Body Output Neurons of the Honey Bee Outpaces Spatiotemporal Odor Processing Two Synapses Earlier in the Antennal Lobe. PLoS ONE, 7(11): e50322. EISSN-1932-6203, doi:10.1371/journal.pone.0050322

El curso tendrá una componente de proyecto que los estudiantes irán desarrollando casi desde el principio. Cada estudiante escogerá su propio proyecto de acuerdo a sus intereses. El curso puede ser la base para comenzar proyectos de investigación a nivel maestría y doctorado. El curso introducirá una serie de problemas que son actualmente fuente de preguntas de investigación en matemáticas y en fisiología, con potencial de publicacion.

Se propone que haya dos reuniones por semana de 2 horas y media por sesión, para un total de 4.5 horas de reunión por semana. El curso puede extenderse a dos semestres.