Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Filosofía de las Matemáticas

El problema de las construcciones geométricas: del análisis problemático de los antiguos al problema de las construcciones geométricas en la axiomática contemporanea.

Mientras que para Platón los conceptos de la matemática son independientes de la experiencia y tienen una realidad propia y por lo tanto se les descubre -no se los inventa ni se los crea, para Aristóteles la matemática trabaja con conceptos abstractos que se derivan de propiedades de los cuerpos físicos, asimismo -como Platón- reconoce la necesidad de términos indefinidos (olvidada hasta finales del siglo XIX cuando lo señala Pash).

La existencia de los objetos matemáticos tiene que comprobarse, pues de no ser así los teoremas que demostremos de estos objetos no tendrán sentido. El método de demostrar la existencia adoptado por Euclides (siguiendo a Aristóteles) fue el de la construcción. Los postulados de Euclides permiten construir rectas y circunferencias, de lo que se desprenden varias preguntas interesantes como las siguientes:

• ¿Qué es posible construir con compás únicamente (teorema de Mhor-Mascheroni)?,
• ¿Qué es posible construir con regla únicamente (teorema de Poncelet-Steiner)?,
• ¿Cómo podemos restringir los axiomas de manera tal que los axiomas restringidos sean equivalentes a los axiomas euclidianos (teorema de Leonardo)?
• ¿Por qué los griegos limitaron su geometría a la recta, el círculo y a las figuras derivadas de ellos (constructibilidad, demostrabilidad)?
• y la más interesante de todas: ¿A qué condición una construcción geométrica es realizable con regla y compás (teoría de Galois)?

Para poder dar respuesta a estas preguntas veremos que el papel que juegan los axiomas es fundamental, de manera que estas preguntas encuentran respuestas en diferentes geometrías por lo que podemos aventurar que algunas de estas preguntas son características de ciertas geometrías mientras que en otras geometrías carecen de sentido. En esta dirección, analizaremos el trabajo fundacional de Euclides y de Hilbert principalmene pero también de la escuela italiana (Peano, Pieri, Enriques, Veronese, Fano, Vailati, Beltrami) y los trabajos fundacionales de Schur, Wiener y Veblen. Si tenemos tiempo podremos dar un vistazo a otros trabajos fundacionales como los de Lovatchevskii, Gauss, Riemann y Tarski.

En el presente curso nos interesará realizar una lectura crítica de las fuentes primarias de los autores anteriores, recorriendo más de 22 siglos de trabajos fundacionales de la geometría (y de la matemática en general hasta hace 2 o 3 siglos), partiendo de Los Elementos de Euclides y terminando con los Fundamentos de la Geometría de Hilbert, obteniendo de paso algunas geometrías no euclidianas.

La evaluación del curso se hará a través de ensayos escritos donde se deberá desarrollar, debatir, criticar o refutar la discusión presentada en clase, apoyándose en las lecturas que se cargarán en una carpeta de Dropbox. Estos ensayos deberán entregarse cada lunes desde el 6 de febrero y hasta el 8 de mayo. La extensión de estos ensayos no deberá rebasar una página tamaño carta, con el formato siguiente: tipografía Arial de 11 puntos, interlineado sencillo y márgenes por defecto de cualquier procesador de textos.