Matemáticas (plan 1983) 2017-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana I

Presentación

Tal vez convenga comenzar esta presentación observando las diferencias entre los cursos de nombre “Geometría Diferencial” y “Geometría Riemanniana” que se ofrecen en la Facultad. Si uno observa ambos temarios, la principal diferencia es que el primero es un curso que pretende ser introductorio a esta área de las matemáticas, teniendo como objetos de estudio a las curvas y superficies en el espacio euclidiano. En el segundo, este objeto de estudio se cambia por el de variedad diferenciable.

En realidad, muchos de los conceptos que se estudian en ambos cursos son esencialmente iguales. Sin embargo, en los cursos de Geometría Diferencial se utiliza (o al menos yo utilizo) como apoyo los conocimientos de Cálculo y Álgebra Lineal en bajas dimensiones (erre dos y erre tres, pues).

En los cursos de Geometría Riemanniana se trabaja con espacios topológicos, es decir, con conceptos un poco más abstractos. En este sentido, es recomendable que los estudiantes estén familiarizados con las variedades más sencillas, es decir, con las curvas y superficies.

Una vez establecidos los objetos de estudio, las variedades diferenciables, empezaremos a estudiar toda la teoría de transformaciones diferenciables entre ellos. Luego de esto, pasaremos a estudiar la parte más geométrica, que tiene que ver con las geodésicas (las curvas más derechas posibles sobre nuestra variedad) y la curvatura, que sin duda es el concepto central en cualquier curso de este tipo.

Si se revisa el temario en

https://web.fciencias.unam.mx/asignaturas/252.pdf

se podrá observar que éste es un temario ambicioso. Muy probablemente no lleguemos a cubrirlo, sobre todo porque todos los temas dan pie a muchas discusiones. Sin embargo, es mi intención que la gente se “quede picada” e invitada a llevar otros cursos de la misma área.

Sobre la bibliografía: Hay un buen número de referencias para el estudio de esta materia. En el temario oficial se puede ver una lista de los libros que se han utilizado de manera regular en la Facultad, aunque hay otros más recientes (los de Lee y Petersen, por ejemplo), que son excelentes. Mi gusto particular se inclina por dos: el libro clásico de M. do Carmo (el de Geometría Riemanniana) y el de O’Neill (Geometría Semi-Riemanniana), así que me basaré en éstos.

Calificación

Haremos 4 exámenes parciales en las siguientes fechas, salvo causas de fuerza mayor:

Jueves 23 de febrero. Conceptos básicos. Métricas riemannianas.

Jueves 23 de marzo. Conexiones, geodésicas y transformación exponencial.

Jueves 27 de abril. Curvatura y variedades completas. Formas espaciales.

Jueves 25 de mayo. Dependiendo del tiempo, revisaremos los temas de Subvariedades y/o Grupos de Lie.

Como preparación para cada examen parcial subiré a la página

http://academicos.fciencias.unam.mx/oscarpalmas/

una serie de ejercicios de los que se elegirá los problemas del examen parcial.

El día de la segunda vuelta se presentará a lo más una reposición de un examen parcial o bien el examen final. Los ejercicios de las reposiciones y el examen final no serán los mismos que los de las tareas.

La calificación final será el máximo entre el promedio de los exámenes parciales, el promedio de los exámenes parciales contando la reposición si la hubiere y la calificación del examen final.

La calificación mínima aprobatoria será 6.0

Las calificaciones finales 6.5, 7.5, 8.5 y 9.5 “suben” a 7, 8, 9 y 10 respectivamente.

Asesorías con Oscar: De lunes a jueves de 15:00 a 16:00.