Matemáticas (plan 1983) 2017-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Singularidades en el modelado de comportamientos dinámicos y biológicos multi-escala

HORARIO: MA-MI-JU Prof, LU-VI Ayu.

blog del curso: https://sites.google.com/site/metodossingulares/

Este curso extiende y complementa los cursos de Ecuaciones Diferenciales I-III y de Biología Matemática I-II a través de temas recientes sobre el análisis de sistemas dinámicos no-lineales con multiples escalas temporales.

Un comportamiento dinámico multi-escala está caracterizado por la presencia de multiples escalas temporales características. En sistemas biológicos, dichas escalas surgen de la interacción no lineal de procesos de naturaleza muy distinta: eléctrica, molecular, genética, social, etc. Estas interacciones subyacen a la riqueza de los comportamientos dinámicos observados en la naturaleza.

Inspirados por el concepto de “centro organizador” (introducido en teoría de singularidades por R.Thom), en este curso introduciremos métodos para clasificar, predecir y reconocer la emergencia de comportamientos dinámicos multi-escala. Juntando teoría de singularidades aplicada a problemas de bifurcación [Golubitsky1985] y teoría geométrica de perturbaciones singulares [Fenichel1979,Jones1995] construiremos métodos geométricos para el análisis constructivo de sistemas dinámicos multi-escala.

Estos métodos son esencialmente un complemento y una extensión de métodos clásicos en teoría de sistemas dinámicos y teoría de bifurcaciones. En particular permiten predecir de forma constructiva y general la existencia y unicidad de atractores y bifurcaciones globales (una de las fallas más importantes de la teoría clásica).

Intentaremos también echar también un vistazo a la aplicación de los mismos métodos para el análisis de la formación de patrones espacio-temporales multi-escala en ecuaciones diferenciales parciales de tipo reacción difusión.

Lo largo del curso usaremos ejemplos biológicos para ilustrar los métodos teóricos introducidos y, si interesados, los estudiantes serán también introducido a través de ejemplos sencillos al uso del lenguaje de programación Julia (http://julialang.org/) y al uso del programa de dibujo vectorial InkScape.

Finalmente, las conexiones filosóficas y matemáticas con la obra de R.Thom serán parte integrante de los conceptos abordados.

Evaluación: participación en clase (obligatoria), tareas (30%), exposición oral al final del curso sobre artículos de investigación o examen final (70%). El tema de la exposición oral puede poner las bases para desarrollar tesis de licenciatura y maestría.