Matemáticas (plan 1983) 2017-1

Optativas de los Niveles V y VI, Cálculo de las Variaciones

Requisitos: Cálculo diferencial e integral I-IV y ecuaciones diferenciales ordinarias I.

I. Motivación.

• Superficies de área mínima.
• Braquistócrona.
• Problemas isoperimétricos.
• Principio de Dirichlet.

II. Espacios de Funciones.

• Espacios normados (normas, espacios de Banach, espacios con producto interno y espacios de Hilbert).
• Continuidad de funcionales.
• Derivadas de Gateaux y Fréchet.
• Extremos de un funcional.

III. Lemas fundamentales.

• Lema de Lagrange.
• Lema de Du Bois-Reymond.
• Regularizadores.
• Partición (suave) de la unidad.

IV. Condiciones necesarias.

• Primera variación y ecuaciones débiles de Euler-Lagrange.
• Ecuaciones de Euler-Lagrange (ejemplos).
• Condiciones de frontera naturales.
• Condiciones necesarias para minimizadores en la clase de funciones continuamente diferenciables por pedazos.
• Lagrangianos nulos (propiedades básicas, determinantes como Lagrangianos nulos y teorema del punto fijo de Brouwer).

V. Problemas variacionales con restricciones.

• Multiplicadores de Lagrange.
• Problemas isoperimétricos (condiciones holonómicas y no holonómicas).

VI. Curvas Geodésicas (*).

• Variedades diferenciables.
• Longitud y energía de curvas.
• Geodésicas.

VII. La segunda variación y condiciones suficientes.

VIII. Cambios de variable y teoría de Hamilton-Jacobi.

IX. Orientación a ecuaciones diferenciales parciales: un problema unidimensional (*).

Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Bressan. Lectures Notes in Functional Analysis.
• Courant. Calculus of Variations.
• Courant-Hilbert. Methods of mathematical physics vol I.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Gelfand, Fomin. Calculus of Variations.
• Giaquinta, Hildebrandt. Calculus of Variations I.
• Ize. Cálculo de variaciones.
• Jost, Li-Jost. Calculus of Variations.
• Troutman. Variational Calculus and Optimal Control.

El curso se evaluará con tareas quincenales que valen el 50% de la calificación final y exámenes parciales (al menos cuatro) que valen el otro 50%. Habrá una tarea-examen. El alumno podrá presentar una reposición de un parcial. Habrá un exámen final para quien lo requiera.