Matemáticas (plan 1983) 2017-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Seminario de Geometría B

Formas diferenciales y foliaciones.

Salón de seminarios Graciela Salicrup del Instituto de Matemáticas .

Lunes a viernes (8-9 am.)

Laura Ortiz Bobadilla (profesora)

Guadalupe Martínez Salgado (ayudante)

El objetivo de este curso es dar a los estudiantes una herramienta de gran

utilidad: las formas diferenciales. El enfoque que se dará pone el acento en

la comprensión geométrica del lenguaje de las k-formas diferenciales. Para

ello nos apoyaremos fuertemente en el libro de V.I. Arnold, “Mathematical Methods

of Classical Mechanics” (capítulo 7). Una vez asimilados los conceptos de formas

diferenciales pasaremos a hacer uso de ellas en variedades.

Veremos la relación que hay de ellas con las ecuaciones diferenciales ordinarias y

la teoría de foliaciones. Daremos nociones básicas de homología y cohomología a

modo de que el alumno tenga un primer acercamiento a estos conceptos desde un

punto de vista geométrico. Se verá, a su vez, el Teorema de Frobenius como una

aplicación de la teoría de formas.

1. k- formas y su interpretación geométrica.

2. Producto exterior de k formas.

3. Formas diferenciales.

4. Formas diferenciales cerradas y exactas.

5. Primer grupo de cohomología de de Rham.

6. Derivada exterior de formas diferenciales.

7. Concepto de “jalar” una forma (“pullback”)

8. Explosión de una singularidad mediante formas diferenciales.

9. Formas diferenciales en superficies y en variedades.

10. Integración de formas.

11. Lema de Poincaré para 1-formas.

12. Integración en variedades.

13. Conceptos básicos de homología.

14. Teorema de Stokes (general).

15. Teorema de de Rham (sin demostración).

16. Sucesión de Mayer-Vietoris.

17. Uso de formas para foliaciones.

18. Teorema de Frobenius.

La clase se imparte todos los días.

Bibliografía.

Se hará uso de los siguientes libros (aunque en el transcurso del semestre se irá recomendando alguna otra bibliografía):

a) Arnold V.I., “Mathematical Methods of Classical Mechanics” (capítulo 7).

b) Tu L. "An introduction to manifolds", Universitext, Springer Verlag.

c) Morita S., “Geometry of Differential forms”.