Matemáticas (plan 1983) 2017-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III

Análisis III (Introducción al Análisis Funcional)

Ocina 331 - miguel.ballesteros@iimas.unam.mx

Antecedentes: El Análisis Funcional.

• El origen del nombre "análisis auncional" surge del estudio de "espacios de funciones", es decir, de espacios vectoriales cuyos vectores (o puntos) son funciones. En palabras del reconocido matemático J. Dieudonné, el análisis funcional es "el estudio de los espacios vectoriales topológicos y de las aplicaciones definidas entre subconjuntos de los mismos, sujetas a distintas condiciones algebráicas y topológicas".

• El análisis funcional surge de la necesidad de encontrar nuevas técnicas para abordar una serie de problemas (principalmente de ecuaciones diferenciales y de la física del siglo XX) que los métodos tradicionales no podían resolver: Desde el punto de vista del análisis funcional, las ecuaciones diferenciales se describen por operadores (o transformaciones) entre espacios de funciones. Las soluciones de las mismas se basan en el análisis de estos operadores. Por ejemplo, el operador de Laplace (o laplaciano) se puede ver como una transformación en espacios de funciones dos veces diferenciables.

• En los tiempos actuales, el análisis funcional se ha convertido en una herramienta fundamental para las ecuaciones diferenciales, temas de física contemporánea y matemáticas aplicadas.

Objetivos Fundamentales del Curso:

1. Presentar los resultados principales del análisis funcional: El teorema de Banach-Steinhaus, el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu y los teoremas de la función abierta y de la gráfica cerrada.
2. Introducir a los estudiantes a la teoría espectral. En particular, estudiar el teorema espectral, que se refiere a la forma de diagonalizar transformaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión infinita (es la generalización del teorema espectral que se trata en álgebra lineal). Este teorema hace posible el estudio de operadores diferenciales (como, por ejemplo, el operador de Laplace), facilitando el análisis de ecuaciones diferenciales. Cabe aclarar que en esta parte del curso se avanzaría lo más posible, en la medida en que el tiempo lo permita.

Nota: No es indispensable saber teoría de la medida para el presente curso.