Actuaría (plan 2006) 2017-1

Optativas, Procesos Estocásticos II

PÁGINA WEB DE LA ASIGNATURA: http://www.matem.unam.mx/mdi29/docencia.html

OBJETIVO

Este curso es la continuación natural del curso Procesos Estocásticos I. El objetivo es profundizar en procesos estocásticos a tiempo continuo más generales como las cadenas de Markov a tiempo continuo y los procesos de difusión unidimensionales. También se pretende dar una breve introducción a la integración estocástica y algunos de sus resultados más importantes. Aunque el curso tiene un alto contenido matemático, se tratará de dar muchos ejemplos, hacer simulaciones de los procesos y evitar demasiadas tecnicidades en las pruebas.

TEMARIO

Tema 1 – Cadenas de Markov a tiempo continuo ([An], [BW], [KT1], [No]).

Se estudiarán funciones de transición, existencia y unicidad de las ecuaciones de Kolmogorov, clasificación de estados, medida invariante, reversibilidad, procesos de nacimiento y muerte y otros ejemplos. Seguiremos mayormente [An] y [BW], complementando con otros como [KT1] ó [No].

Tema 2 – Procesos de difusión ([BW], [KT2]).

Se estudiarán procesos de difusión unidimensionales. Más concretamente, ecuaciones de Kolmogorov, clasificación de puntos frontera, ecuaciones diferenciales asociadas a ciertos funcionales, representación espectral y ejemplos. Seguiremos mayormente las referencias [KT2] y [BW].

Tema 3 – Introducción al cálculo estocástico ([BW], [CW], [KS], [Tu]).

En este tema se verán las diferentes construcciones de la integral estocástica, la fórmula de Itô y sus aplicaciones, ecuaciones diferenciales estocásticas y ejemplos. Seguiremos mayormente [BW] complementando con otras referencias.

BIBLIOGRAFÍA

[An] Anderson, William J., Continuous-time Markov chains. An applications-oriented approach, Springer series in Statistics, NY, 1991.

[BW] Bhattacharya, R. N. y Waymire, E. C., Stochastic processes with applications, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990.

[BZ] Brzezniak Z. y Zastawniak, T., Basic stochastic processes. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 1999.

[CW] Chung, K.L. y Williams, R.J., Introduction to stochastic integration, Birkhäuser, 1990.

[Fe] Feller, W., An introduction to probability theory and its applications. Vol. I y II. John Wiley & Sons Inc., New York, 1968 y 1971.

[KS] Karatzas, I. y Shreve, S. E., Brownian motion and stochastic calculus, Springer-Verlag, 1991.

[KT1] Karlin, S. y Taylor, H., A First Course in Stochastic Processes, New York: Academic, 1975.

[KT2] Karlin, S. y Taylor, H., A Second Course in Stochastic Processes, New York: Academic, 1981.

[No] Norris, J. R., Markov Chains, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[Re] Resnick, S., Adventures in Stochastic Processes, Boston: Birkhauser, 1992.

[Ro] Ross, S. M., Introduction to probability models. Harcourt/Academic Press, Burlington, MA, seventh edition, 2000.

[TK] Taylor, H. y Karlin, S., An introduction to stochastic modeling. Academic Press Inc., Boston, MA, revised edition, 1994.

[Tu] Tudor C., Procesos estocásticos, Aportaciones Matemáticas, Serie Textos 2, Sociedad Matemática Mexicana, 1994.

EVALUACIÓN

Tareas, exposiciones en clase y exámenes regulares en los cuales el alumno aplique el material visto en clase y esté obligado a revisar diversas fuentes bibliográficas para que amplíe sus conocimientos con diferentes enfoques.