Matemáticas (plan 1983) 2017-1

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Teoría de los Números I

Presentación y objetivos.

En este curso seguiremos el temario oficial de la materia (el cual puede descargarse aquí: http://www.fciencias.unam.mx/asignaturas/764.pdf) y que ahonda en los temas de divisibilidad y congruencias que el alumno estudió en Álgebra Superior 2; sin embargo, complementaremos éstos con un estudio introductorio de las funciones aritméticas más importantes (principalmente la phi de Euler y la mu de Möbius), así como una ligera exposición sobre para qué sirven éstas en la teoría analítica de números.

Posteriormente veremos algunas aplicaciones de lo anterior no solo a la criptografía (como lo estipula el temario), sino al estudio mismo de las congruencias polinomiales de grado superior. El curso concluirá con el estudio de la ley de reciprocidad cuadrática, de la que C. F. Gauss diera por lo menos 8 pruebas a lo largo de su vida, y algunos temas relacionados con el teorema de Fermat-Wiles. Al concluir el curso, los alumnos que se hayan comprometido con el mismo deberán poseer un conocimiento teórico y operativo de los teoremas más importantes (y de algunas de sus aplicaciones) que se desprenden del concepto de divisibilidad en el anillo de los enteros, para el estudio de propiedades análogas en anillos más generales.

Bibliografía.

Principalmente seguiremos tres textos:

Apostol, T.; Introduction to Analytic Number Theory; Springer Verlag, 1976.

Niven, I. et al; An Introduction to the Theory of Numbers; J. Wiley, 1991.

Zaldívar, F.; Introducción a la teoría de números; F.C.E., 2012.

Todos los cuales se encuentran en la biblioteca de la facultad.

Evaluación.

Esta se discutirá el primer día de clases e incluirá, entre otras cosas, un examen parcial (por lo menos) de cada uno de los temas que componen el temario; así como tareas, participaciones y lecturas previas a algunas clases. El contenido de éstas será, normalmente, de carácter histórico y estará relacionado directamente con el tema que se esté cubriendo en ese momento.