Matemáticas (plan 1983) 2017-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

El curso está orientado para las carreras de Matemáticas y Física, en particular para alumnos interesados en el análisis funcional, ecuaciones diferenciales parciales y física-matemática. Es importante estar familiarizado con los siguientes temas: Teoría básica de integración de Lebesgue, propiedades básicas de espacios normados, de Banach y de Hilbert, teoría y métodos básicos para estudiar ecuaciones difereciales parciales.

I. Elementos de espacios de Sobolev y formulación débil de problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales.

II. Resultados básicos de análisis funcional sobre espacios de Banach.

• Teorema de categoría de Baire y sus consecuencias (Bases de Hamel, Principio de acotamiento uniforme, teorema del mapeo abierto, teorema de la gráfica cerrada y ejemplo de Lewy(*).).

III. Operadores acotados.

• Topologías sobre el espacio de operadores acotados.
• Adjuntos.
• Espectro y resolvente (propiedades espectrales básicas).

IV. Operadores compactos.

• Propiedades básicas.
• Propiedades espectrales.
• Alternativa de Fredholm.
• Teorema de Hilbert Schmidt.
• Aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales.

V. Análisis espectral del Laplaciano.

• Operador de Laplace-Dirichlet (vectores propios).
• Fórmulas min-max y max-min de Courant-Fisher.
• Propiedades asintóticas.

VI. Ecuaciones lineales parabólicas e hiperbólicas. (*)

• Existencia de soluciones débiles.
• Regularidad.
• Principios del máximo.

VII. Introducción a la teoría de Semigrupos.

• Operadores lineales no-acotados (dominios, gráficas, adjuntos, espectro y ejemplos en mecánica cuántica).
• Mapeo exponencial.
• Semigrupos uniparamétricos fuertemente continuos.
• Teorema de Hille-Yosida.
• Semigrupos de contracción sobre espacios de Hilbert.
• Ecuaciones de onda, calor y de Schrödinger.
• Ecuación inhomogénea.

Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.

Es importante mencionar que el primer tema se impartirá a modo de repaso, solo profundizaremos algunos resultados.

Bibliografía:

• Akhiezer, Glazman. Theory of linear operators in Hilbert Space.
• Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis.
• Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
• Cloud, Hutson and Pym. Applications of Functional Analysis and Operator Theory.
• Engel, Nagel. A short course on operator semigroups.
• Eskin. Lectures on Linear Partial Differential Equations.
• Evans. Partial Differential Equations.
• Kesavan. Topics in Functional Analysis and Applications.
• Kreyszig. Introductory functional analysis with applications.
• Pazy. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.
• Reed, Simon. Methods of Modern Mathematical Physics vols. I, II.
• Yosida. Functional Analysis.

Debido a que el curso está clasificado como seminario, se evaluará solamente con exámenes parciales (al menos cuatro). Éstos estarán basados en tareas que se repartirán quincenalmente. Habrá una tarea-examen. No habrá reposiciones, sin embargo el alumno podrá subir su calificación con trabajos extra. Habrá un examen final para quien lo requiera.