Matemáticas (plan 1983) 2017-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

• Espacios métricos. Definición y ejemplos. Espacios normados. Espacios de funciones. Subespacios métricos e isometrías.
• Continuidad. Definición y ejemplos. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Convergencia de sucesiones.
• Compacidad. Definición y propiedades. El teorema de Heine-Borel. Existencia de máximos y mínimos. Continuidad uniforme.
• Completitud. Definición. Espacios métricos completos. Convergencia uniforme. Espacios completos de funciones. Series de funciones en espacios de Banach.
• El teorema de punto fijo de Banach. Aplicaciones a la solución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones integrales de Fredholm y de Volterra, y del problema de Cauchy.
• Compacidad en espacios de funciones. Conjuntos totalmente acotados. El teorema de Arzelà-Ascoli. El teorema de Cauchy-Peano. Existencia de trayectorias de longitud mínima.
• El teorema de aproximación de Weierstrass. El teorema de Stone-Weierstrass.
• Diferenciabilidad en espacios de Banach. Definición y propiedades de la derivada. Derivadas de orden superior. Expansión de Taylor.
• Teoremas de la función implícita. Extremos de funciones con restricciones. Multiplicadores de Lagrange. Homeomorfismos lineales.

Bibliografía:

Clapp, M., Análisis Matemático, 1a. Edición, Colección Papirhos, Serie Textos, Núm. 2, Instituto de Matemáticas de la UNAM, México 2015.

Jost, J., Postmodern Analysis, Springer-Verlag, New York 1998.

Kreyszig. E., Introductory functional analysis with applications. John Wiley & Sons Inc., New York 1989.

Evaluación:

4 exámenes parciales.