Física (plan 2002) 2016-2

Optativas, Temas Selectos de Física Matemática y Teórica II

Solitones ópticos: una especialidad en física-matemática

JORGE FUJIOKA

Instituto de Física, Cubículo 55. E-mail: fujioka@fisica.unam.mx

Horario:

Martes y Jueves, 12:00 a 13:30

en el salón P-109 de la Fac. de Ciencias.

Pre-requisitos:

Cálculos 1-IV, Ecs. Diferenciales, Variable Compleja, Electromagnetismo I, Mecánica Analítica.

Evaluación: Tareas (80%) y 2 exámenes (20%).

RESUMEN:

La física-matemática no lineal (FMNL) tiene 2 grandes ramas:

• Rama I:

Trabaja con ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales,

y la palabra central en este campo es la palabra CAOS.

• Rama II:

Trabaja con ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) no lineales,

y la palabra central en este campo es la palabra SOLITÓN.

En este curso nos enfocaremos en la “Rama II” de la FMNL, y estudiaremos algunas de las EDPs no lineales más interesantes de la física-matemática.

Empezaremos por conocer a la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV), que es la ecuación en la cual se descubrieron los solitones por primera vez, y es la primera EDP no lineal que pudo resolverse de manera exacta. Posteriormente nos concentraremos en la ecuación No Lineal de Schrödinger (NLS), que es la EDP no lineal más interesante de la física-matemática.

La ecuación NLS describe la propagación de ondas en múltiples sistemas, muchos de los cuales no tienen ninguna relación con la mecánica cuántica. En particular, la ecuación NLS describe:

a) la propagación de pulsos de luz en fibras ópticas,

b) la generación de olas “monstruosas” (en inglés “rogue waves”) en la superficie del mar,

c) el comportamiento de los condensados de Bose-Einstein.

En el curso nos enfocaremos en la ecuación NLS y en sus múltiples variantes, tal como aparecen en el contexto óptico, donde describen la propagación de pulsos de luz de muy corta duración en fibras ópticas. Estos pulsos son los famosos SOLITONES ÓPTICOS, los cuales constituyen el fundamento de los sistemas de telecomunicaciones modernos hechos con fibras ópticas.

Dado que en este curso estudiaremos a la ecuación NLS tal y como surge en óptica, jamás usaremos nada de mecánica cuántica.

En el curso conoceremos varias ecuaciones que tienen soluciones tipo “solitón”, aprenderemos cómo determinar la estabilidad de estos solitones, veremos que casi la totalidad de estas ecuaciones pueden deducirse de lagrangianas apropiadas, y aprenderemos de qué nos sirven estas lagrangianas. Aprenderemos también que hay muchos tipos de solitones (por ejemplo: espaciales, temporales, brillantes, oscuros, estables, inestables, embebidos, fraccionarios, discretos y caóticos), y veremos que algunos de estos solitones se descubrieron en México.

El objetivo del curso es que al terminar el semestre los alumnos estén en condiciones de empezar a obtener resultados originales en esta área.

El temario completo del curso se puede ver en la página: solitonesopticos.blogspot.com. A continuación se muestra un temario abreviado:

TEMARIO REDUCIDO:

1. Origen de los solitones.

2. Ecuación KdV.

3. Interacción de solitones.

4. Deducción de la ecuación NLS por el método de “escalas múltiples”.

5. Deducción de la ecuación NLS a partir de las ecuaciones de Maxwell.

6. Parte lineal de la ecuación NLS.

7. Parte no lineal de la ecuación NLS.

8. Solitones “espaciales” y “temporales”.

9. Efecto de auto-inclinamiento (“self-steepening”).

10. Recordatorio de cálculo variacional y método variacional de Anderson.

11. Solitones estables, inestables y semi-estables.

12. Solitones “embebidos” y ausencia de radiación.

13. Criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov.

14. Rompimientos de simetría.

15. Métodos variacionales de Hasegawa y Malomed.

16. Propiedad de Painlevé y formas bilineales de Hirota.

17. Teorema de Noether.

18. Cálculo fraccionario y solitones fraccionarios.

19. Transformaciones de Darboux.

20. Solitones discretos, oscuros y caóticos.

Bibliografía básica (textos):

1. J. Fujioka:

NLS: Una introducción a la ecuación no lineal de Schrödinger,

Serie FENOMEC, UNAM, 2003.

2. Y.S. Kivshar and G.P. Agrawal:

Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals,

Academic Press, San Diego , CA , 2003.

3. G.P. Agrawal:

Nonlinear Fiber Optics,

Academic Press, 3^a edición, 2001.

4. A. Hasegawa and M. Matsumoto:

Optical Solitons in Fibers,

Springer-Verlag , Berlin, Heidelgerg, 3^a edición, 2003.

5. J. Hecht:

Understanding Fiber Optics,

3^a edición, Prentice Hall, New Jersey, 1999.

Bibliografía complementaria (artículos):

6. J. Fujioka and A. Espinosa:

Stability of the Bright-type Algebraic Solitary-Wave Solutions

of Two Extended Versions of the Nonlinear Schrödinger Equation.

J. Phys. Soc. Japan 65 (1996) 2440-2446

7. J. Fujioka and A. Espinosa:

Soliton-like Solutions of an Extended NLS Equation

Existing in Resonance with Linear Dispersive Waves.

J. Phys. Soc. Japan 66 (1997) 2601-2607

8. J Fujioka:

La Propiedad de Painlevé

CIENCIA ergo sum 8 (Nov. 2001 – Feb. 2002) 319-328

9. A. Espinosa-Cerón, J. Fujioka and A. Gómez-Rodríguez:

Embedded Solitons: Four-Frequency Radiation,

Front Propagation and Radiation Inhibition.

Physica Scripta 67 (2003) 314.

10. R.F. Rodríguez, J.A. Reyes, A. Espinosa-Cerón, J. Fujioka and B.A.

Malomed:

Standard and Embedded Solitons in Nematic Optical Fibers.

Phys. Rev. E 68 (2003) 036606-1/14.

11. S. González-Pérez-Sandi, J. Fujioka and B.A. Malomed:

Embedded Solitons in Dynamical Lattices.

Physica D 197 (2004) 86.

12. J. Fujioka, A. Espinosa-Cerón and R.F. Rodríguez:

A survey of embedded solitons.

Rev. Mex. de Física 52 (2006) 6-14.

13. J. Fujioka, A. Espinosa and R.F. Rodríguez:

Fractional Optical Solitons.

Physics Letters A 374 (2010) 1126-1134.

14. J. Fujioka, E. Cortés, R. Pérez-Pascual, R.F. Rodríguez, A. Espinosa

and B.A. Malomed:

Chaotic solitons in the quadratic-cubic NLS equation

under nonlinearity management.

Chaos 21 (2011) 033120.

15. J. Fujioka:

Fractional equivalent Lagrangian densities for a fractional higher-order

NLS equation.

Journal of Physics A 47 (2014) 212001 (Fast Track Communication).