Matemáticas (plan 1983) 2016-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas II

Métodos singulares en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales: teoría y aplicaciones en biología matemática

https://sites.google.com/site/metodossingulares

PRIMERA CLASE: Miercoles 3 de febrero en O130

Temario

En el presente curso se impartirán dos temas principales:

1. Aplicaciones de la teoría de singularidades a los problemas de bifurcación [Golubitsky 1985].

2. Teoría geométrica de las perturbaciones singulares (Teoría de Fenichel) [Jones 1995].

Aplicaremos estas herramientas al estudio de ecuaciones diferenciales no-lineales singularmente perturbadas que surgen de la biología matemática.

Temario detallado

1. Ejemplos de comportamiento biológicos no lineales: bi-estabilidad, oscilaciones, excitabilidad, bursting, frente de ola viajero, pulso viajero, pulso estáticos.

2. Introducción a la dinámica no lineal en una dimensión, bifurcaciones escalares [Strogatz 1994].

3. Clasificación de las bifurcaciones escalares a través de la teoría de singularidades [Golubitsky 1985].

4. Introducción a la dinámica no lineal en el plan, bifurcaciones de ciclos límites: problemas abiertos [Strogatz 1994].

5. Introducción a la teoría geométrica de perturbaciones singulares [Jones 1995].

6. Estudio de bifurcaciones de ciclos límites a través de la teoría de singularidades y de la teoría de perturbaciones singulares.

A través de tareas y exposiciones, los estudiantes serán guiados en el uso de estas herramientas en el análisis de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales (de tipo reacción difusión) asociadas al modelado de distintos fenómenos biológicos con multiples escalas espacio-temporales, por ejemplo, bursting, ondas viajeras y ondas estáticas [Jones 1995, Jones 1998, Franci 2014, Franci 2015]. Esta parte puede poner las bases para proyectos de tesis.

Requisidos aconsejados: Calculo 1-4, Algebra Lineal 1 y 2, Ecuaciones Diferenciales 1

Bibliografía esencial

[Strogatz 1994] Nonlinear Dynamics and Chaos. With Applications to Physics, Biology, Chemestry and Engineering. Perseus Books, 1994.

[Golubitsky 1985] M. Golubitsky and D. G. Schaeffer. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1985.

[Jones 1995] C.K.R. Jones. Geometric singular perturbation theory. In Dynamical systems. Springer Lecture Notes in Math. 1609, 1995.

[Krupa 2001a] M. Krupa and P. Szmolyan, Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points - fold and canard points in two dimensions, SIAM J. Math. Anal., 33 (2001), pp. 286–314.

[Krupa 2001b] M. Krupa and P. Szmolyan, Extending slow manifolds near transcritical and pitchfork singularities, Nonlinearity, 14 (2001), pp. 1473–1491.

[Jones 1998] C. K. R. T. Jones and J. E. Rubin. Existence of standing pulse solutions to an inhomogeneous reaction–diffusion system. Journal of Dynamics and Differential Equations, 10(1):1–35, 1998.

[Franci 2014] A. Franci, G. Drion, R. Sepulchre. Modeling the modulation of neuronal bursting: a singularity theory approach. SIAM J Appl Dyn Syst, 13(2), 2014.

[Franci 2015] A. Franci, R. Sepulchre. A three-scale model of spatio-temporal bursting. Submitted.