Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2016-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Algebraica II

Grupo 4213 7 alumnos.
Profesor Lilia Montserrat Vite Escobedo lu mi vi 11 a 12 O130
Ayudante Eladio Escobedo Trujillo ma ju 11 a 12 O130

 

La teoría de esquemas fue introducida por Alexander Grothendieck en los años 60 con la idea de resolver diversos problemas fundamentales de Geometría Algebraica, quizá los mas famosos de ellos las conjeturas de Weil. En la Geometría Algebraica moderna la teoría de esquemas juega un papel fundamental . El objetivo de este curso es relacionar la teoría de Geometría Algebraica Clásica con este "nuevo" punto de vista, enfocándonos en aprender la teoría "abstracta" motivándonos de los conceptos clásicos de Geometría Algebraica a base de muchos ejemplos concretos.

"(...) No one can doubt the success and potency of the scheme-theoretic methods. Unfortunately, the average mathematician, and indeed many a beginner in algebraic geometry, would consider our title, “The Geometry of Schemes”, an oxymoron akin to “civil war”. The theory of schemes is widely regarded as a horribly abstract algebraic tool that hides the appeal of geometry to promote an overwhelming and often unnecessary generality. By contrast, experts know that schemes make things simpler. The ideas behind the theory —often not told to the beginner— are directly related to those from the other great geometric theories, such as differential geometry, algebraic topology, and complex analysis. Understood from this perspective, the basic definitions of scheme theory appear as natural and necessary ways of dealing with a range of ordinary geometric phenomena, and the constructions in the theory take on an intuitive geometric content which makes them much easier to learn and work with."

Prerequisitos:

(Algebra) Vamos a dar por hecho diversos temas de Algebra Conmutativa que sin embargo son bastante accesibles en la literatura. El curso está estructurado de forma que cualquier estudiante que esté familiarizado con los primeros 3 capítulos del libro Introduction to Commutative Algebra de Atiyah sea capaz de seguir el curso.

(Geometría) Este segundo curso es de carácter técnico por lo que no se espera que el estudiante tenga conocimientos previos de Geometría Diferencial o Proyectiva. En particular no es necesario haber cursado Geometría Algebraica 1 aunque para alguien que quiera cursar esta materia se espera que esté dispuesto a leer por su cuenta el material clásico, puesto que este nos va a servir como motivación de todos los conceptos que serán desarrollados a lo largo del semestre.

Temario tentativo:

1. Preliminares

1.1. Repaso de Teoría de Categorías (Funtores, Transformaciones naturales, Propiedades universales, Límites)

1.2. Repaso de Álgebra Conmutativa (Localización, Teoría de dimensión, Nullstellensatz)

1.3. Gavillas y espacios anillados

2. Esquemas

2.1. Esquemas afines.

2.2. Esquemas generales.

2.3. Propiedades básicas.

2.4. Morfismos

2.5. Construcciones (producto fibrado, cambio de base, reducción)

3. Esquemas Proyectivos

3.1 Repaso de Anillos Graduados

3.2. Proyectivización de un anillo graduado.

3.3. Ejemplos (Grassmanianas, Blow Ups)

3.4. Invariantes de esquemas proyectivos

3.5. Aplicaciones a curvas (Teorema de Bezout, Calculo de Schur)

4. Ejemplos y construcciones

4.1. Esquemas reducidos sobre campos algebraicamente cerrados

4.2. Esquemas reducidos sobre campos arbitrarios

4.3. Esquemas no reducidos

4.4. Esquemas aritméticos, Frobenius

4.5. Familias planas

4.6. Esquemas Fano

4.7. Variedades Tóricas

5. El teorema de Riemann-Roch

5.1. Divisores

5.2. Cohomología de Cech.

5.3. Dualidad de Serre

5.4. El teorema de Riemann-Roch.

Referencias:

1. Hartshorne, R. (1977), Algebraic Geometry, Springer Verlag.

2. Eisenbud, D., Harris, J. (2001), Geometry of schemes, Springer Verlag.

3. Vakil, R. (2015), Foundations of Algebraic Geometry. Disponible en linea.

4. Mumford, D. (1999) The red book of varieties and schemes. Springer Verlag

5. Eisenbud D. et al. (2001) Computations in algebraic geometry with Macaulay 2. Springer Verlag.

 


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