Matemáticas (plan 1983) 2016-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales I

Requisitos: Cálculo diferencial e integral I-IV y ecuaciones diferenciales ordinarias I.

I. Ecuaciones de primer orden.

• Ejemplos: modelos de leyes de conservación.
• Existencia local (método de características para ecuaciones lineales, cuasi-lineales y completamente no-lineales).
• Ecuación Eikonal y ecuación de Hamilton-Jacobi.
• Introducción a las leyes de conservación escalares (soluciones débiles, condiciones de salto y criterios de entropía).

II. Herramientas básicas para estudiar ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden.

• Espacios Lp.
• Notación de multi-índices.
• Funciones de prueba: convolución y regularizadores.
• Transfomada de Fourier y aplicaciones.

III. Ecuación de onda.

• Ecuación de onda en una dimensión espacial (cuerda vibrante, separación de variables, fórmula de D'Alambert, problemas de valores en la frontera, principio de Duhamel e identidad de Green-Lagrange).
• Ecuación de onda en varias dimensiones espaciales (campo electromegnético, promedios esféricos, fórmula de Kirchhoff y principio de Huygens, principio del descenso de Hadamard, fórmula de Poisson, principio de Duhamel, problemas con valores en la frontera bien planteados y unicidad por método de la energía).

IV. Ecuaciones elípticas: Laplace, Poisson y Helmholtz.

• Ejemplos: Potencial electrostático.
• Funciones armónicas (propiedad de las medias, principio del máximo, solución fundamental, desigualdad de Harnack, regularidad y teorema de Weyl).
• Función de Green (fórmula de representación de Green, función de Green para el semi-espacio y función de Green para la bola).
• Principio de Dirichlet.
• Unicidad de problemas no acotados.
• Ecuación biarmónica. (*)
• Ecuación de Helmholtz y condición de radiación de Sommerfield.
• Separación de variables.
• Teorema de descomposición de Helmholtz.(*)

V. Ecuación de calor.

• Conducción de calor.
• Problema de Cauchy (solución fundamental y regularidad).
• Problemas con valores iniciales y de frontera.
• Unicidad por método de la energía.
• Principio del máximo para la ecuación de calor y clase de Tikhonov.
• Aplicaciones.

Los temas marcados con (*) se abordarán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Alinhac. Hyperbolic partial differential equations.
• Courant-Hilbert. Methods of mathematical physics vol II.
• Evans. Partial differential equations.
• Folland. Fourier Analysis and its applications.
• Han, Lin. Elliptic partial differential equations.
• John. Partial differential equations.
• Jost. Partial differential equations.
• Kreider. An introduction to linear analysis.
• Pinchover, Rubinstein. An introduction to partial differential equations.
• Salsa. Partial differential equations in action.
• Strauss. Partial differential equations: an introduction.
• Tikhonov, Samarski. Ecuaciones de la física matemática.

El curso se evaluará con tareas quincenales que valen el 50% de la calificación final y cinco exámenes parciales que valen el otro 50% de la calificación. Habrá al menos una tarea-examen. El alumno podrá presentar una reposición de un parcial.