Matemáticas (plan 1983) 2016-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales III

Teoría de bifurcaciones

Cuando se plantean modelos matemáticos en ecuaciones diferenciales es muy común que éstos dependan de una colección de parámetros con cierta interpretación. Por ejemplo, podemos pensar en la capacidad de carga de una población, la tasa de decaimiento de una sustancia, la frecuencia de una oscilación, el retardo que le lleva a un sistema de control en llevar a cabo una instrucción.

La dinámica generada por estos sistemas dependientes de parámetros puede tener comportamientos distintos dependiendo del valor que pueden tomar. La teoría de bifurcaciones estudia principalmente este tipo de cambios cualitativos.

En este curso se estudiarán las bifurcaciones en sistemas de una o dos ecuaciones diferenciales autónomas, aunque echaremos un vistazo a las bifurcaciones en 3 dimensiones.

Prerrequisitos

Dominar todos los cálculos, álgebra lineal y el curso de Ecuaciones Diferenciales I. Es muy recomendable haber llevado Ecuaciones Diferenciales 2, o estarlo llevando a la par, sin embargo no es indispensable. Es súmamente importante estar relacionado con las nociones topológicas de espacios métricos (conjuntos abiertos, cerrados, compactos, completos, espacios de funciones, teorema de punto fijo de Banach, etc.).

Temario

1.Brevísimo repaso de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos

• Teorema de existencia y unicidad.
• Sistemas lineales.
• El teorema de Hartman-Grobman
• El flujo inducido por una ecuación diferencial.
• Conjuntos límite, atrayentes y atractores.
• Estabilidad de Lyapunov
• Mapeo de Poincaré
• El teorema de Poincaré-Bendixson

2. Estabilidad estructural

• Equivalencia topológica de flujos
• Distancia entre sistemas de ecuaciones diferenciales
• Puntos de equilibrio hiperbólicos y no hiperbólicos
• Ciclos hiperbólicos y no hiperbólicos
• Trayectorias heteroclínicas y homoclínicas
• El teorema de Andronov-Pontryaguin
• El teorema de Peixoto

3. Variedades invariantes

• El teorema de la variedad estable e inestable.
• El teorema de la variedad central (sin demostración)

4. Introducción a las bifurcaciones

• Ejemplos de bifurcaciones en ecuaciones escalares.
• La codimensión de una bifurcación
• Diagramas de bifurcación y el espacio de parámetros.
• Formas normales.

5. Bifurcaciones de codimensión 1

• Bifurcación nodo-silla
• Bifurcación de Hopf

6. Bifurcaciones de codimensión 2

• La bifurcación cúspide
• La bifurcación de Takens-Bogdanov
• Un vistazo a otras bifurcaciones.

7. Bifurcaciones globales

• Bifurcación de trayectorias heteroclínicas y homoclínicas.
• La función de Melnikov
• Un vistazo a las bifurcaciones homoclínicas en 3 dimensiones: los teoremas de Shil'nikov

8. Teoría del caos

• Dependencia sensible a condiciones iniciales y transitividad topológica
• Exponentes de Lyapunov
• Medida y dimensión de Hausdorff
• Atractores extraños

Evaluación

Cada alumno tendrá que exponer de forma periódica un tema o un fragmento de él. Además, deberá elaborar unas "notas de clase" que sean legibles y entendibles para que los compañeros puedan consultarlas a lo largo del semestre. Debido al formato del curso, la asistencia es importante.

Referencias

1. "Elements of applied bifurcation theory", de Yuri A. Kuznetsov
2. "Differential dynamical systems", de James D. Meiss
3. "Differential equations and dynamical systems", de Lawrence Perko
4. "Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos", de Stephen Wiggins
5. "Fractal geometry: mathematical foundations and applications", de Kenneth Falconer
6. "Chaos and time-series analysis", de Julien C. Sprott
7. "Applications of Centre Manifold Theory", de Jack Carr.
8. "Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields", de John Guckenheimer y Philip Holmes.