Profesor | Nils Heye Ackermann | lu mi vi | 13 a 14 | P211 |
Ayudante | Julián Fernando Chagoya Saldaña | mi ju | 13 a 14 | P211 |
Temario Enero de 2016
Desde la primera semana las clases serán Martes, Jueves y Viernes.
La primera ayudantía será el 17 de febrero.
Motivación
En el curso Análisis Matemático II generalizamos y profundizamos las nociones presentadas en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral. Particularmente, introducimos la integral de Lebesgue, que es una generalización de la integral multidimensional de Riemann a funciones definidas en subconjuntos de Rn que no necesariamente son continuas.
Con esta nueva noción de integral definimos los espacios de Lebesgue y tratamos sus propiedades. En la última parte del curso introducimos funciones débilmente diferenciables y los espacios de Sobolev como herramientas para tratar ecuaciones diferenciales parciales en espacios de Hilbert.
Contenido
Definición y propiedades básicas, unicidad de la integral, invariancia bajo isometrías, el teorema de cambio de variable
La integral de una función semicontinua, propiedades de la integral de funciones semicontinuas, funciones Lebesgue-integrables, propiedades básicas de la integral de Lebesgue, conjuntos integrables, la integrabilidad sobre un subconjunto de Rn
Conjuntos nulos, el teorema de Fubini, teoremas de convergencia, la integral de funciones radiales, el teorema de cambio de variable
Conjuntos y funciones medibles, los espacios Lp(Ω), aproximación mediante funciones suaves, un criterio de compacidad en Lp(Ω), un criterio de nulidad
Conceptos y propiedades básicas, complemento ortogonal, el teorema de representación de Fréchet-Riesz, bases de Hilbert, convergencia débil
Derivadas débiles, espacios de Sobolev, problemas elípticos con condición en la frontera
Desigualdades de Sobolev, el teorema de Rellich-Kondrachov, valores propios del laplaciano