Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Filosofía de las Matemáticas

René Descartes describe el método axiomático en el Discurso del método como sigue:

"Esas largas series de trabadas razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran emplear, para llegar a sus más difíciles demostraciones, habíanme dado ocasión de imaginar que todas las cosas, de que el hombre puede adquirir conocimiento, se siguen unas a otras en igual manera, y que, con sólo abstenerse de admitir como verdadera una que no lo sea y guardar siempre el orden necesario para deducirlas unas de otras, no puede haber ninguna, por lejos que se halle situada o por oculta que esté, que no se llegue a alcanzar y descubrir. Y no me cansé mucho en buscar por cuáles era preciso comenzar, pues ya sabía que por las más simples y fáciles de conocer; y considerando que, entre todos los que hasta ahora han investigado la verdad en las ciencias, sólo los matemáticos han podido encontrar algunas demostraciones, esto es, algunas razones ciertas y evidentes, no dudaba de que había que empezar por las mismas que ellos han examinado, aun cuando no esperaba sacar de aquí ninguna otra utilidad, sino acostumbrar mi espíritu a saciarse de verdades y a no contentarse con falsas razones. Mas no por eso concebí el propósito de procurar aprender todas las ciencias particulares denominadas comúnmente matemáticas, y viendo que, aunque sus objetos son diferentes, todas, sin embargo, coinciden en que no consideran sino las varias relaciones o proporciones que se encuentran en los tales objetos, pensé que más valía limitarse a examinar esas proporciones en general, suponiéndolas solo en aquellos asuntos que sirviesen para hacerme más fácil su conocimiento y hasta no sujetándolas a ellos de ninguna manera, para poder después aplicarlas tanto más libremente a todos los demás a que pudieran convenir. Luego advertí que, para conocerlas, tendría a veces necesidad de considerar cada una de ellas en particular, y otras veces, tan solo retener o comprender varias juntas, y pensé que, para considerarlas mejor en particular, debía suponerlas en líneas, porque no encontraba nada más simple y que más distintamente pudiera yo representar a mi imaginación y mis sentidos; pero que, para retener o comprender varias juntas, era necesario que las explicase en algunas cifras, las más cortas que fuera posible; y que, por este medio, tomaba lo mejor que hay en el análisis geométrico y en el álgebra, y corregía así todos los defectos de una por el otro".

Ahora concentremos nuestra atención en la siguiente frase:

"Mas no por eso concebí el propósito de procurar aprender todas las ciencias particulares denominadas comúnmente matemáticas, y viendo que, aunque sus objetos son diferentes, todas, sin embargo, coinciden en que no consideran sino las varias relaciones o proporciones que se encuentran en los tales objetos, pensé que más valía limitarse a examinar esas proporciones en general, suponiéndolas solo en aquellos asuntos que sirviesen para hacerme más fácil su conocimiento y hasta no sujetándolas a ellos de ninguna manera, para poder después aplicarlas tanto más libremente a todos los demás a que pudieran convenir".

El método axiomático del que habla Descartes se presenta en los Elementos de Euclides, sin embargo, la afirmación hecha en esta frase apunta hacia otra obra de Euclides, el Data.

¿Qué tan cierta es esta afirmación?, ¿en verdad podemos describir las propiedades de un objeto matemático de manera extrínseca?, ¿un objeto queda totalmente determinado por su relación con los demás objetos?, ¿es posible hacer matemáticas únicamente con relaciones sin mención explícita de los objetos?, de ser así, ¿es adecuado el lenguaje existente para hacer matemáticas desde esta perspectiva o es necesario desarrollarlo aún más?. El objetivo central del curso es la discusión de estas preguntas.

El curso se divide en tres partes:

1. En defensa de la afirmación cartesiana, considerando a los objetos matemáticos como conjuntos estructurados y a las relaciones entre ellos como funciones especiales (The Architecture of Mathematics, Nicholas Bourbaki), se presentará una axiomática para el estudio abstracto del álgebra de funciones y se verá que dentro de ella es posible describir extrínsecamente las nociones conjuntistas básicas y las construcciones matemáticas fundamentales.

A lo largo de esta primera parte del curso les iré entregando unas notas con todas las definiciones, proposiciones y demostraciones, a fin de facilitar su estudio y repaso.

2. En estas notas aparecen varios problemas que ayudarán a comprender y manejar los conceptos ahí expuestos. La resolución en grupo de estos problemas conforma la segunda parte del curso.

3. Se discutirán las preguntas en mesa redonda, apoyando nuestros argumentos en los conceptos expuestos en las dos primeras partes del curso, nuestro conocimiento de las matemáticas adquirido a lo largo de la carrera y la lectura de los textos mencionadas anteriormente.

Al final del curso cada alumno entregará un ensayo exponiendo su punto de vista.

El temario de la primera parte del curso es el siguiente:

1. CATEGORÍAS: Definición, categorías especiales, morfismos especiales y objetos especiales.

2. FUNTORES: Definición, isomorfismos.

3. DUALIDAD: Versión funtorial intuitiva y versión axiomática formal.

4. SUBOBJETOS Y OBJETOS COCIENTE: Categoría de subobjetos, categoría de objetos cociente, igualadores y coigualadores.

5. CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES: Productos, productos fibrados, coproductos y sumas amalgamadas.

6. CONCEPTOS CONJUNTISTAS EN CATEGORÍAS: Unión, intersección, imagen directa e imagen inversa.

7. LÍMITES Y COLÍMITES: Una generalización de diversos conceptos vistos anteriormente.

8. ESTRUCTURAS DE FACTORIZACIÓN: Un camino para el estudio de la Teoría de las Categorías.