Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III

Análisis Matemático III, semestre 2016-I.

El curso pretende ser una introducción a diversos temas del Análisis Funcional, estudiaremos el concepto de espacio de Banach, espacio de Hilbert y mas general espacios vectoriales topologicos, probaremos resultados que son importantes por sus aplicaciones en diversas áreas de la matemática.

Estudiaremos también las transformaciones lineales y la teoría espectral entre espacios de Banach y de Hilbert, daremos un paso un poco mas general al tratar álgebras de Banach y estudiar el espectro en este caso, finalmente estudiaremos espacios vectoriales topologicos que generalizan a los espacios de Banach, veremos las dificultades que implica esto y probaremos algunos resultados básicos en esta dirección.

El curso es introductorio pues cabe mencionar que todos estos temas tienen un nivel de profundidad abismal y un sin fin de cosas interesantes no se cubrirán, sin embargo el curso esta pensado para que los estudiantes puedan adentrarse, o reforzar sus conocimientos, en las diversas áreas donde se aplica el Análisis funcional, como lo son el calculo de variaciones, ecuaciones diferenciales parciales, teoría de control, álgebras topologicas, geometría en espacios de Banach, por mencionar algunas.

Temario.

1. Espacios de Banach

1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades basicas

1.2 Operadores lineales, la norma de operador, funcionales lineales

1.3 Teoremas importantes en espacios de Banach:

1.3.1 Teorema de Hahn-Banach.

1.3.2 Teorema de acotamiento uniforme.

1.3.3 Teorema de la gráfica cerrada.

1.3.4 Teorema del mapeo abierto.

1.4 Topologias débiles en espacios de Banach, el teorema de Banach-Alaoglu.

2. Espacios de Hilbert.

2.1 Espacios con producto punto y propiedades básicas

2.2 Ortogonalidad y bases.

2.3 Teorema de representación de Riesz

2.4 Teorema del isomorfismo.

3. Teoría espectral.

3.1 El espectro de un operador, algunos resultados.

3.2 El teorema espectral.

3.3 Propiedades del espectro de algunos tipos de operadores

3.4 Álgebras de Banach.

4. Espacios vectoriales topologicos.

4.1 Definiciones y ejemplos.

4.2 Bases de vecindades del cero.

4.3 Espacios localmente convexos.

4.4 Convergencia.

4.5 Transformaciones lineales.

4.6 Algunos teoremas.

Bibliografía.

N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory

Dunford, schwartz, Linear operators part I: General Theory.

G. Folland, Real Analysis.

A. García García, Notas UAM.

H. Jarchow, Locally convex spaces.

E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with applications.

R. E. Megginson, An introduction to Banach Space Theory

W. Rudin, Functional Analysis.

EVALUACIÓN:

En principio serian exámenes y tareas (este punto se puede discutir), es importante la participación en clase del alumno.